三、 直言命题之间的对当关系
直言命题的主项和谓项在语言学上都是语词，都表达着概念，而概念都有内涵和外延。直言命题之间的对当关系是指有相同素材(即有相同主项和谓项)的直言命题间的真假关系。如果没有相同的主谓项，则无法比较它们的真假。可以把A、E、I、O之间的真假关系概括为四类，即矛盾关系、差等关系、反对关系和下反对关系。
(一) 反对关系
指A与E的关系，它们之间不能同真，但可以同假。于是，若一个为真，则另一个必为假;若一个为假，则另一个真假不定。例如，已知“所有的动物都能行走”为真，可以推出“所有的动物都不能行走”为假;但是，我们从“我们中所有的人都是北方人”为假，却不能推出“我们中所有的人都不是北方人”的真假来。
(二) 差等关系
亦称“从属关系”，指A与I、E与O之间的关系。这种关系存在于同质(同为肯定或否定)的全称命题和特称命题之间，我们可以把它概括为：如果全称命题为真，则相应的特称命题为真;如果特称命题为假，则相应的全称命题为假;如果全称命题为假，则相应的特称命题真假不定;如果特称命题为真，则相应的全称命题真假不定。例如，“如果有的书没有价值”为真，那么从逻辑上不能知道“所有的书都没有价值”的真假;但是如果前一个命题为假，那么后一个命题必为假。
指A与O、E与I的关系，它们之间既不能同真，也不能同假，因而必有一真，也必有一假。于是，由一个为真，就可以推出另一个为假;由一个为假，就可以推出另一个为真。例如，由“所有金子都是闪光的”为真，可以逻辑地推出“有些金子不闪光”为假;由“有的哺乳动物是卵生的”为真，可以逻辑地推出“所有哺乳动物都不是卵生的”为假。
有时我们也撇开真假概念，用否定词、等值把矛盾关系表述如下：
(1) “SAP”等值于“并非SOP”;
(2) “SEP”等值于“并非SIP”;
(3) “SIP”等值于“并非SEP”;
(4) “SOP”等值于“并非SAP”。
这里所说的两个命题等值是指：两个命题的形式可能不同，但表达的逻辑内容是相同的，即它们恒取相同的真假值。
(四) 下反对关系
指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能同假。于是，由一个为假，可以逻辑地推出另一个为真;但从一个为真，不能确切地知道另一个的真假。例如，已知“有些中国人是大奖获得者”为假，则可以推出“有些中国人不是大奖获得者”为真;但是从“有些花朵是有毒的”为真，却不能推出“有些花朵不是有毒的”的真假。
可以用图21来刻画对当关系，图21被称为“逻辑方阵”或者“对当方阵”。
图21逻辑方阵(对当方阵)
一般把单称命题作为全称命题的特例来处理。但是，在考虑对当关系(即真假关系)时，单称命题不能作为全称命题的特例。如果涉及有同一素材的单称命题，那么以上所述的对当关系要稍加扩展：单称肯定命题和单称否定命题是矛盾关系;全称命题与同质的单称命题是差等关系;单称命题与同质的特称命题也是差等关系，但与不同质的特称命题是下反对关系;单称命题与不同质的全称命题是反对关系。 例3. 大会主席宣布：“此方案没有异议，大家都赞同，通过。”
如果以上不是事实，下面哪项必为事实?
A. 大家都不赞同此方案。
B. 有少数人不赞同此方案。
C. 有些人赞同，也有些人反对。
D. 至少有人是赞同此方案的。
E. 至少有人是不赞同此方案的。【解题分析】正确答案E。根据对当关系，都赞同的反面是至少有人不赞同，可能都不赞同，也可能只有一个人不赞同，但不能肯定究竟有多少人赞同。A、B、C几种选项各自都可以推出题干所说不是事实，但是由题干不是事实，不能推出它们中任何一个“必为事实”，这里“必为”二字很重要。D忽视了一个特例，即由全体不同意也可以得出题干所说不是事实。例4. 某公司共有包括总经理在内的20名员工。有关这20名员工，以下三个断定中，只有一个是真的：
Ⅰ. 有人在该公司入股。
Ⅱ. 有人没在该公司入股。
Ⅲ. 总经理没在该公司入股。
根据以上事实，则以下哪项是真的?
A. 20名员工都入了股。
B. 20名员工都没入股。
C. 只有一人入了股。
D. 只有一人没入股。
E. 无法确定入股员工的人数。【解题分析】这是个有关直言命题之间对当关系的考题。“有人在该公司入股”和“有人没在该公司入股”之间是下反对关系，不能同假，必有一真。因此，三个命题中仅有的那个真命题就在它们中间，则“总经理没在该公司入股”是假的，即总经理在该公司入了股，于是“有人在该公司入股”为真，因此，“有人没在该公司入股”为假，则真实情形是：所有员工都在该公司入了股。由此确定选项A是真的。正确答案是A。例5. 有人说：“哺乳动物都是胎生的。”
以下哪项最能驳斥以上判断?
A. 也许有的非哺乳动物是胎生的。
B. 可能有的哺乳动物不是胎生的。
C. 没有见到过非胎生的哺乳动物。
D. 非胎生的动物不大可能是哺乳动物。
E. 鸭嘴兽是哺乳动物，但不是胎生的。【解题分析】题干中是一个全称肯定命题，根据对当关系，最能反驳它的是特称否定命题。如果选项E为真，则可以得出特称否定结论：有的哺乳动物不是胎生的。所以答案为E。
