1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4(n∈N*)，则an的通项公式为________.
答案 2n 1
解析 an 1=Sn 1-Sn=2a n 1-4-(2an-4)an 1=2an，再令n=1，∴S1=2a1-4a1=4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an=4·2n-1=2n 1.
2.已知数列{an}满足an 2=an 1-an，且a1=2，a2=3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 016的值为________.
答案 0
解析 由题意得，a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=-2，a5=a4-a3=-3，a6=a5-a4=-1，a7=a6-a5=2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2 016=6·336，∴S2 016=336S6=0.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=14-a6，则S10等于________.
答案 70
解析 a5=14-a6a5 a6=14，
S10===70.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S10=110，则使取得最小值时n的值为________.
答案 8
解析 a2=4，S10=110a1 d=4,10a1 45d=110a1=2，d=2，因此== ，又n∈N*，所以当n=8时，取得最小值.
5.等比数列{an}中，a3a5=64，则a4等于________.
答案 8或-8
解析 由等比数列的性质知，a3a5=a，
所以a=64，所以a4=8或a4=-8.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1 a3=，且a2 a4=，则等于________.
答案 2n-1
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则解得
∴===2n-1.
7.设函数f(x)=xa ax的导函数f′(x)=2x 2，则数列{}的前9项和是________.
答案
解析 由题意得函数f(x)=xa ax的导函数f′(x)=2x 2，即axa-1 a=2x 2，所以a=2，即f(x)=x2 2x，==(-)，
所以Sn=(1- - - … -)=(1 --).
则S9=(1 --)=.
8.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则(n∈N*)的最小值为________.
答案 4
解析 据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(1 2d)2=1 12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n 1) -2，据基本不等式知=(n 1) -2≥2 -2=4，当n=2时取得最小值4.
9.等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lg an}的前8项和等于________.
答案 4
解析 由等比数列的性质有a1a8=a2a7=a3a6=a4a5，
所以T8=lg a1 lg a2 … lg a8
=lg(a1a2…a8)=lg(a4a5)4=lg(10)4=4.
10.已知数列{an}满足an 1=an 2n且a1=2，则数列{an}的通项公式an=____________.
答案 n2-n 2
解析 an 1=an 2n，
∴an 1-an=2n，采用累加法可得
∴an=(an-an-1) (an-1-an-2) … (a2-a1) a1，
=2(n-1) 2(n-2) … 2 2=n2-n 2.
11.若数列{an}满足an=3an-1 2(n≥2，n∈N*)，a1=1，则数列{an}的通项公式为an=____________.
答案 2×3n-1-1
解析 设an λ=3(an-1 λ)，化简得an=3an-1 2λ，
∵an=3an-1 2，∴λ=1，
∴an 1=3(an-1 1)，∵a1=1，∴a1 1=2，
∴数列{an 1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an 1=2×3n-1，∴an=2×3n-1-1.
12.数列1，2，3，4，5，…的前n项之和等于________________.
答案 [1-()n]
解析 由数列各项可知通项公式为an=n ，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为Sn= [1-()n].
13.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an 1=λSn 1(n∈N*，且λ≠-1)，且a1,2a2，a3 3为等差数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和.
解 (1)方法一 ∵an 1=λSn 1(n∈N*)，
∴an=λSn-1 1(n≥2).
∴an 1-an=λan，即an 1=(λ 1)an (n≥2)，λ 1≠0，
又a1=1，a2=λS1 1=λ 1，
∴数列{an}是以1为首项，以λ 1为公比的等比数列，
∴a3=(λ 1)2，∴4(λ 1)=1 (λ 1)2 3，
整理得λ2-2λ 1=0，得λ=1.
∴an=2n-1，bn=1 3(n-1)=3n-2.
方法二 ∵a1=1，an 1=λSn 1(n∈N*)，
∴a2=λS1 1=λ 1，
a3=λS2 1=λ(1 λ 1) 1=λ2 2λ 1.
∴4(λ 1)=1 λ2 2λ 1 3，
整理得λ2-2λ 1=0，得λ=1.
∴an 1=Sn 1 (n∈N*)，
an=Sn-1 1(n≥2)，
∴an 1-an=an，即an 1=2an (n≥2)，又a1=1，a2=2，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，bn=1 3(n-1)=3n-2.
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，
anbn=(3n-2)·2n-1，
∴Tn=1·1 4·21 7·22 … (3n-2)·2n-1.①
∴2Tn=1·21 4·22 7·23 … (3n-5)·2n-1 (3n-2)·2n.②
①-②得，-Tn=1·1 3·21 3·22 … 3·2n-1-(3n-2)·2n=1 3·-(3n-2)·2n.
整理得Tn=(3n-5)·2n 5.
14.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn= (n∈N*)，
(1)求证：数列{an}是等差数列;
(2)设bn=，Tn=b1 b2 … bn，若λ≤Tn对于任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
(1)证明 ∵Sn= (n∈N*)，①
∴Sn-1= (n≥2).②
①-②得an= (n≥2)，
整理得(an an-1)(an-an-1)=(an an-1)，
∵数列{an}的各项均为正数，∴an an-1≠0，
∴an-an-1=1(n≥2).
当n=1时，a1=1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)得Sn=，
∴bn===2(-)，
∴Tn=2[(1-) (-) (-) … (-)]=2(1-)=，
∵Tn=，∴Tn单调递增，∴Tn≥T1=1，∴λ≤1.故λ的取值范围为(-∞，1].
