模态命题及其推理一
在逻辑中，“必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。例如，“在有穷世界里，部分必然小于整体”，“在无穷世界里，部分可能等于整体”，“人不可能长生不死”等，都是模态命题，可以分别表示为“必然p”、“可能q”和“不可能r”。“必然p”、“不可能p”(必然非p)、“可能p”和“可能非p”之间的真假关系，类似于直言命题A、E、I、O之间的真假关系，也可以用图22的对当方阵来表示：
图22对当方阵
根据这种对当关系，可以在模态命题之间建立下述推理关系：
(1) “必然p”推出“并非必然非p”;
(2) “必然非p”推出“并非必然p”;
(3) “必然p”推出“可能p”;
(4) “并非可能p”推出“并非必然p”;
(5) “必然非p”推出“可能非p”;
(6) “并非可能非p”推出“并非必然非p”;
(7) “必然p”等值于“并非可能非p”;
(8) “必然非p”等值于“并非可能p”;
(9) “可能p”等值于“并非必然非p”;
(10) “可能非p”等值于“并非必然p”;
(11) “不可能p”等值于“必然非p”。例1. 有甲、乙、丙、丁、戊五个人，每个人头上戴一顶白帽子或者黑帽子，每个人显然只能看见别人头上帽子的颜色，看不见自己头上帽子的颜色。并且，一个人戴白帽子当且仅当他说真话，戴黑帽子当且仅当他说假话。已知：
甲说： 我看见三顶白帽子一顶黑帽子。
乙说： 我看见四顶黑帽子。
丙说： 我看见一顶白帽子三顶黑帽子。
戊说： 我看见四顶白帽子。
根据上述题干，下列陈述都是假的，除了
A. 甲和丙都戴白帽子。
B. 乙和丙都戴黑帽子。
C. 戊戴白帽子，但丁戴黑帽子。
D. 丙戴黑帽子，但甲戴白帽子。
E. 丙和丁都戴白帽子。
【解题分析】解这道题只能用假设法和归谬法。先假设甲的话为真，则甲戴白帽子，加起来共有四顶白帽子一顶黑帽子，于是乙和丙的话就是假的，于是乙和丙都戴黑帽子，这与A的话为真的结果(一顶黑帽子)矛盾，因此A的话不可能为真，必定为假，A戴黑帽子。再假设乙的话为真，则他自己戴白帽子，共有一顶白帽子四顶黑帽子;这样，由于丙看不见他自己所戴帽子的颜色，当他说“我看见一顶白帽子三顶黑帽子”时，他所说的就是真话，于是他戴白帽子，这样乙和丙都戴白帽子，有两顶白帽子，与乙原来的话矛盾。所以，乙所说的只能是假话，他戴黑帽子。既然已经确定甲、乙都戴黑帽子，则戊所说的“我看见四顶白帽子”就是假话，戊也戴黑帽子。现假设丙的话为假，则他实际看见的都是黑帽子，他自己也戴黑帽子，于是五个人都戴黑帽子，这样，乙的话就是真话;但我们已经证明乙的话不可能为真，因此丙的话也不可能为假，于是丙和未说话的丁戴白帽子。最后结果是：甲、乙、戊说假话，戴黑帽子;丙、丁说真话，戴白帽子。所以，正确的选项是E。例2. 全运会男子10000米比赛，大连、北京、河南各派了三名运动员参加。赛前四名体育爱好者在一起预测比赛结果。甲断言：“传统强队大连队训练很实，这次比赛前三名非他们莫属。”乙则说：“据我估计，后起之秀北京队或者河南队能够进前三名。”丙预测：“第一名如果不是大连队的，就是北京队的。”丁坚持：“今年与去年大不相同了，前三名大连队最多能占一席。”比赛结束后，发现四人中只有一人的预测是正确的。
以下哪项最可能是该项比赛的结果?
A. 第一名大连队，第二名大连队，第三名大连队。
B. 第一名大连队，第二名河南队，第三名北京队。
C. 第一名北京队，第二名大连队，第三名河南队。
D. 第一名河南队，第二名大连队，第三名大连队。
E. 第一名河南队，第二名大连队，第三名北京队。
【解题分析】这一次我们先假设某个选项为真，看它能否与给定的前提相容，若不相容，则该选项不可能成立。设选项A成立，则甲的话真，丙的话也真，因为丙说的是一个充分条件假言命题，并且它的前件为假，根据表22，该充分条件假言命题肯定为真，这样就有两句真话，与题干中“四人中只有一人预测正确”矛盾，因此选项A不成立。再设选项B成立，则乙和丁的预测是正确的，这又与给定条件“四人中只有一人预测正确”矛盾，因此B不成立。E的情形同B，因此也不成立。再设C成立，则乙、丙、丁的话都是真的，与给定条件矛盾，故不成立。所以，正确的选项是D，因为这时只有乙的话是真的，甲、丙、丁的话都是假的，与给定条件相符。例3. 下面两题基于下述共同题干：
