两个基本原理

1、加法原理：

做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1 m2 … mn种不同的方法．

2乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

分析与解：分析个位数字，可分以下几类．

个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；

与上同样

个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

……

个位是2的只有1个．

说明：本例是一个综合应用乘法原理和加法原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或乘法原理。

例4同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ）

A． 6种        B．9种    C．  11种               D． 23种

分析与解1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式．由加法原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．

分析与解2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由乘法原理，四张贺年卡不同的分配方式有9种．

∴ 应选B．

注意：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用加法原理解答的，解法2是用乘法原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用加法原理．

如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用乘法原理．

（2）加法原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．