圆

到一个定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的轨迹称为圆周(或简称圆).

1.基本概念

弦:连结圆上两点的线段.

弧:圆周的一段.

直径:过圆心的弦.

半径: 圆心和圆上一点的连线.

扇形: 一段弧和过它两端的两条半径所围的图形.

弓形: 一段弧和连接它的两端的弦所围的图形

圆心角: 两条半径所夹的角.

圆周角: 过圆上一点的两条弦所夹的角.

切线:和圆只有一个公共点的直线,此公共点称为切点.

2.性质

① 关于圆周角

命题 立在一段弧上的圆心角的大小等于立在此弧上的任一圆周角的2倍.

推论1 圆的内接四边形对角和等于180°.

推论2 立在直径上的圆周角是直角.

② 关于弦和切线

垂直于弦的直径平分此弦.

如果直线和圆相切,则经过切点的半径和切线垂直.

经过圆外一点的圆的切线有两条,两个切点到此点的距离相等.

推论:圆的外切四边形两双对边长度之和相等.

3. 圆周长度和圆面积

半径为r的圆的圆周长度为2pr, 面积为pr2.

把圆弧长度和半径的比值称为其弧度,圆弧的弧度为x,则其长度为rx,相应扇形的面积为xr2/2.

4.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系分为:相离(即没有公共点,图13中l1和圆的关系),相切(即有一个公共点,称为切点,图13中l2和圆的关系),相割(即有两个公共点).

设圆半径为r, 圆心到直线的距离为d,则

相离Ûd>r.

相切Ûd=r.

5. 两个圆的位置关系

两个圆的位置关系分为:外离(即每个圆都在另一圆的外面,没有公共点,见图14的a),外切(即每个圆都在另一圆的外面,但有一个切点, 见图14的b), 相割(即有两个交点,见图14的c),内切(即小圆在大圆之内,有一个切点, 见图14的d),内含(即小圆在大圆之内, 没有公共点, ).

设两个圆半径分别为r1, r2, 两个圆心的距离为d,则

外离Û d>r1 r2.

外切Û d=r1 r2.

相割Û |r1-r2|