整数(Integer)：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。(整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体)整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、… (n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n可以是负数(n∈Z-)，非负数(n∈Z*)，零(n=0)或正数(n∈Z ).

我们以0为界限，将整数分为三大类

1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。

2.0 ，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。

3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。

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正整数

是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。事实，,我们有时候把正整数叫做自然数。

零

不仅表示“没有”(“无”)，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

负整数

中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

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代数性质

下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。

性质 加法 乘法

封闭性 a b 是整数 a × b 是整数

结合律 a (b c) = (a b) c 是整数 a × (b × c) = (a × b) × c 是整数

交换律 a b = b a a × b = b × a

存在单位元 a 0 = a a × 1 = a

存在逆元 a (-a) = 0 在整数集中，只有1或 -1关于乘法存在整数逆元

分配律 a × (b c) = a × b a × c

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整数的性质及应用

整数的整除性

整除的概念及其性质

如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。

整数整除性的一些数码特征(即常见结论)

(1)若一个整数的末位数字能被2(或5)整除，则这个数能被2(或5)整除，否则不能;

(2)一个整数的数码之和能被3(或9)整除，则这个数能被3(或9)整除，否则不能;

(3)若一个整数的末两位数字能被4(或25)整除，则这个数能被4(或25)整除，否则不能;

(4)若一个整数的末三位数字能被8(或125)整除，则这个数能被8(或125)整除，否则不能;

(5)若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

整数的奇偶性

(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数;

(2)奇数的平方都可以表示成(8m 1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或(8m 4)的形式;

(3)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

完全平方数

完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：

(1)平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9;

(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;

(3)奇数平方的十位数字是偶数;

(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;

(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7;

(6)平方数的约数的个数为奇数;

(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

(8)设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若(a,b)=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。