一、选择题1.与直线2x-y 4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是().
A.2x-y 3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y 1=0 D.2x-y-1=0
解析 设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，
由2x0=2得x0=1，故切线方程为y-1=2(x-1)，
即2x-y-1=0.
答案 D
.若函数h(x)=2x- 在(1， ∞)上是增函数，则实数k的取值范围是().
A.(-2， ∞) B.(2， ∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，2)
解析 由条件得h′(x)=2 =≥0在(1， ∞)上恒成立，即k≥-2x2在(1， ∞)上恒成立，所以k(-2， ∞).
答案 A
.函数f(x)=(4-x)ex的单调递减区间是().
A.(-∞，4) B.(-∞，3)
C.(4， ∞) D.(3， ∞)
解析 f′(x)=ex (4-x)·ex=ex(3-x)，令f′(x)<0，由于ex>0，3-x<0，解得x>3.
答案 D
.函数f(x)=ax3 bx在x=处有极值，则ab的值为()
A.2 B.-2 C.3 D.-3
解析 f′(x)=3ax2 b，由f′=3a2 b=0，可得ab=-3.故选D.
D
5.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有().A.f(0) f(2)<2f(1) B.f(0) f(2)≤2f(1)
C.f(0) f(2)≥2f(1) D.f(0) f(2)>2f(1)
解析 不等式(x-1)f′(x)≥0等价于或
可知f(x)在(-∞，1)上递减，(1， ∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0) f(2)≥2f(1).
答案 C
.已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.
下列关于函数f(x)的命题：
函数y=f(x)是周期函数;
函数f(x)在[0,2]上是减函数;
如果当x[-1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4;
当10，
当x(0,2)时，f′(x)<0，当x(2， ∞)时，f′(x)>0，显然当x=2时f(x)取极小值.
2
9.若曲线f(x)=ax5 ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
解析 f′(x)=5ax4 ，x(0， ∞)，
由题意知5ax4 =0在(0， ∞)上有解.
即a=-在(0， ∞)上有解.
x∈(0， ∞)，-(-∞，0).a∈(-∞，0).
答案 (-∞，0)
.已知函数y=-x3 bx2-(2b 3)x 2-b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________.
解析 y′=-x2 2bx-(2b 3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，Δ=4b2-4(2b 3)=4(b2-2b-3)≤0，-1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<-1或b>3.
答案 (-∞，-1)(3， ∞)三、解答题
.设函数f(x)=ax3-3x2，(aR)，且x=2是y=f(x)的极值点，求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间.
解 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因为x=2是函数y=f(x)的极值点.
所以f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1，
经验证，当a=1时，x=2是函数f(x)的极值点，
所以g(x)=ex(x3-3x2)，
g′(x)=ex(x3-3x2 3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x )(x-)ex.
因为ex>0，所以y=g(x)的单调增区间是(-，0)和(， ∞);单调减区间是(-∞，-)和(0，).
.已知函数f(x)=x3-ax-1
(1)若f(x)在(-∞， ∞)上单调递增，求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在，求出a的取值范围;若不存在试说明理由.
(1)f′(x)=3x2-a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(-∞， ∞)上单调递增时，a的取值范围是(-∞，0].
(2)若f(x)在(-1,1)上单调递减，
则对于任意x(-1,1)不等式f′(x)=3x2-a≤0恒成立
即a≥3x2，又x(-1,1)，则3x2<3因此a≥3
函数f(x)在(-1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3， ∞).
.已知函数f(x)=aln x-ax-3(aR).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t[1,2]，函数g(x)=x3 x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.
(1)根据题意知，f′(x)=(x>0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1， ∞);
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1， ∞)，单调递减区间为(0,1];当a=0 时，f(x)不是单调函数.
(2)f′(2)=-=1，a=-2，
f(x)=-2ln x 2x-3.
g(x)=x3 x2-2x，
g′(x)=3x2 (m 4)x-2.
g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)=-2，
由题意知：对于任意的t[1,2]，g′(t)<0恒成立，
∴-
