一、选择题
1. {an}为等差数列，公差d=-2，Sn为其前n项和.若S10=S11，则a1=()
A.18B.20
C.22 D.24
解析由S10=S11得a11=S11-S10=0，a1=a11 (1-11)d=0 (-10)×(-2)=20.
答案B
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11，a4 a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于().
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 由a4 a6=a1 a9=-11 a9=-6，得a9=5，从而d=2，所以Sn=-11n n(n-1)=n2-12n=(n-6)2-36，因此当Sn取得最小值时，n=6.
答案 A
3.已知{an}为等差数列，a1 a3 a5=105，a2 a4 a6=99，则a20等于().
A.-1 B.1 C.3 D.7
解析 两式相减，可得3d=-6，d=-2.由已知可得3a3=105，a3=35，所以a20=a3 17d=35 17×(-2)=1.
答案 B
4.在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为().
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 依题意得S15==15a8>0，即a8>0;S16==8(a1 a16)=8(a8 a9)<0，即a8 a9<0，a9<-a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.
答案 C5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk 2-Sk=24，则k=().
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 由a1=1，公差d=2得通项an=2n-1，又Sk 2-Sk=ak 1 ak 2，所以2k 1 2k 3=24，得k=5.
答案 D
.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数的个数是().
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由=得：===，要使为整数，则需=7 为整数，所以n=1,2,3,5,11，共有5个.
答案 D二、填空题
.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7-a5=4，a11=21，Sk=9，则k=________.
解析a7-a5=2d=4，d=2，a1=a11-10d=21-20=1，
Sk=k ×2=k2=9.又kN*，故k=3.
答案3
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若-=1，则公差为________.
解析 依题意得S4=4a1 d=4a1 6d，S3=3a1 d=3a1 3d，于是有-=1，由此解得d=6，即公差为6.
答案 6.在等差数列{an}中，a1=-3,11a5=5a8-13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________.
解析 (直接法)设公差为d，则11(-3 4d)=5(-3 7d)-13，
所以d=，所以数列{an}为递增数列.
令an≤0，所以-3 (n-1)·≤0，所以n≤，
又nN*，前6项均为负值，
所以Sn的最小值为-.
答案 -
.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.
解析 设等差数列{an}的项数为2n 1，
S奇=a1 a3 … a2n 1==(n 1)an 1，
S偶=a2 a4 a6 … a2n==nan 1，
==，解得n=3，项数2n 1=7，S奇-S偶=an 1，即a4=44-33=11为所求中间项.
答案 11 7三、解答题
.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6 15=0.(1)若S5=5，求S6及a1;
(2)求d的取值范围.
(1)由题意知S6==-3，a6=S6-S5=-8，
所以
解得a1=7，所以S6=-3，a1=7.
(2)因为S5S6 15=0，所以(5a1 10d)(6a1 15d) 15=0，即2a 9da1 10d2 1=0，
故(4a1 9d)2=d2-8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤-2或d≥2.
.在等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3=45，a1 a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列?若存在，求出c的值;若不存在，请说明理由.
解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d>0，
则由得
解得an=4n-3(nN*).
(2)由bn===，
c≠0，可令c=-，得到bn=2n.
bn 1-bn=2(n 1)-2n=2(nN*)，
数列{bn}是公差为2的等差数列.
即存在一个非零常数c=-，使数列{bn}也为等差数列..在数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an 2 an=2an 1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
解 (1)由2an 1=an 2 an可得{an}是等差数列，
且公差d===-2.
an=a1 (n-1)d=-2n 10.
(2)令an≥0，得n≤5.
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.
当n≤5时，Sn=|a1| |a2| … |an|
=a1 a2 … an=-n2 9n;
当n≥6时，Sn=|a1| |a2| … |an|
=a1 a2 … a5-(a6 a7 … an)
=-(a1 a2 … an) 2(a1 a2 … a5)
=-(-n2 9n) 2×(-52 45)
=n2-9n 40，
Sn=
.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an=S2 Sn对一切正整数n都成立.
(1)求a1，a2的值;
(2)设a1>0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大?并求出Tn的最大值.
解 (1)取n=1，得a2a1=S2 S1=2a1 a2，
取n=2，得a=2a1 2a2， ②
由-，得a2(a2-a1)=a2，
(i)若a2=0，由知a1=0，
(ii)若a2≠0，由知a2-a1=1.
由、解得，a1= 1，a2=2 ;或a1=1-，a2=2-.
综上可得a1=0，a2=0;或a1= 1，a2= 2;或a1=1-，a2=2-.
(2)当a1>0时，由(1)知a1= 1，a2= 2.
当n≥2时，有(2 )an=S2 Sn，(2 )an-1=S2 Sn-1，
所以(1 )an=(2 )an-1，即an=an-1(n≥2)，
所以an=a1()n-1=( 1)·()n-1.
令bn=lg，
则bn=1-lg()n-1=1-(n-1)lg 2=lg，
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为-lg 2)，
从而b1>b2>…>b7=lg>lg 1=0，
当n≥8时，bn≤b8=lg
故n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为
T7===7-lg 2.
