第1讲
一、选择题
1.数列{an}：1，-1，2，-2，…的一个通项公式是()
A.an=(-1)n 1(nN )
B.an=(-1)n-1(nN )
C.an=(-1)n 1(nN )
D.an=(-1)n-1(nN )
解析 观察数列{an}各项，可写成：，-，，-，故选D.
答案 2.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示).
则第七个三角形数是().
A.27 B.28 C.29 D.30
解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1 2 3 4 5 6 7=28.
答案 B
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1(nN*)，则a5=().
A.-16 B.16 C.31 D.32
解析 当n=1时，S1=a1=2a1-1，a1=1，
又Sn-1=2an-1-1(n≥2)，Sn-Sn-1=an=2(an-an-1).
=2.an=1×2n-1，a5=24=16.
答案 B
4.将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014-5=().
A.2 020×2 012 B.2 020×2 013
C.1 010×2 012 D.1 010×2 013
解析 结合图形可知，该数列的第n项an=2 3 4 … (n 2).所以a2 014-5=4 5 … 2 016=2 013×1 010.故选D.
答案 D.在数列{an}中，an=-2n2 29n 3，则此数列最大项的值是 ().
A.103 B. C. D.108
解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：an=-2n2 29n 3=-2 3=-22 3 ，
n=7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.
答案 D
.定义运算“*”，对任意a，bR，满足a*b=b*a;a*0=a;(3)(a*b)*c=c*(ab) (a*c) (c*b).设数列{an}的通项为an=n**0，则数列{an}为().
A.等差数列 B.等比数列
C.递增数列 D.递减数列
解析 由题意知an=*0=0]n· (n*0) )=1 n ，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列;又函数y=x 在[1， ∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列.
答案 C二、填空题
.在函数f(x)=中，令x=1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________.
答案 1，，，2，
.已知数列{an}满足a1=1，且an=n(an 1-an)(nN*)，则a2=________;an=________.
解析 由an=n(an 1-an)，可得=，
则an=···…··a1=×××…××1=n，a2=2，an=n.
答案 2 n.已知f(x)为偶函数，f(2 x)=f(2-x)，当-2≤x≤0时，f(x)=2x，若nN*，an=f(n)，则a2 013=________.
解析 f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)，
f(x 2)=f(2-x)=f(x-2).
故f(x)周期为4，
a2 013=f(2 013)=f(1)=f(-1)=2-1=.
答案
.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
三、解答题
.数列{an}的通项公式是an=n2-7n 6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项，它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
(1)当n=4时，a4=42-4×7 6=-6.
(2)令an=150，即n2-7n 6=150，解得n=16，即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n 6>0，解得n>6或n<1(舍)，
从第7项起各项都是正数.
.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an 2SnSn-1=0(n≥2)，a1=.
(1)求证：成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时，由an 2SnSn-1=0，
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以-=2，
又==2，故是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得=2n，Sn=.
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=-==-.
当n=1时，a1=不适合上式.
故an=.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3)，an 1=Sn 3n，nN*.
(1)设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式;
(2)若an 1≥an，nN*，求a的取值范围.
解 (1)依题意，Sn 1-Sn=an 1=Sn 3n，
即Sn 1=2Sn 3n，由此得Sn 1-3n 1=2(Sn-3n)，
又S1-31=a-3(a≠3)，故数列{Sn-3n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1，nN*.
(2)由(1)知Sn=3n (a-3)2n-1，nN*，
于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n (a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1 (a-3)2n-2，
当n=1时，a1=a不适合上式，
故an=
an 1-an=4×3n-1 (a-3)2n-2
=2n-2，
当n≥2时，an 1≥an12·n-2 a-3≥0a≥-9.
又a2=a1 3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[-9， ∞).
.在等差数列{an}中，a3 a4 a5=84，a9=73.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意mN*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
解 (1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3 a4 a5=3a4=84，即a4=28.
设数列{an}的公差为d，则5d=a9-a4=73-28=45，故d=9.
由a4=a1 3d得28=a1 3×9，即a1=1.
所以an=a1 (n-1)d=1 9(n-1)=9n-8(nN*).
(2)对mN*，若9m
