一、选择题
11.设向量a，b满足|a|=2，a·b=，|a b|=2，则|b|等于()
A. B.1
C. D.2
[答案] B
[解析] |a b|2=|a|2 2a·b |b|2=4 3 |b|2=8，|b|=1.
12.(文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若 2=3，则的值为()
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，设=2，作OAED，则=3，
||=||=2||，=.
(理)(2014·新课标理，10)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=()
A. B.
C.3 D.2
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|=|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为=4，=，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得==，所以|QA|=3，所以|QF|=3.
13.(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，A=60°，A的平分线交BC于D，AB=4，= λ(λR)，则AD的长为()
A.1 B.
C.3 D.3
[答案] D
[解析] 在AC上取E点，在AB上取F点，使=，=λ，
= λ= ，
DE∥AB，DFAC，===3，AF BF=AB=4，BF=1，AF=3，在ADF中，AF=3，DF=3，DFA=120°，AD=3.
(理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||=1，则| |的取值范围是()
A.[4,6] B.[-1， 1]
C.[2，2] D.[-1， 1]
[答案] D
[解析] 考查了向量的坐标运算，圆的有关知识.
设D(x，y)，则由||=1，得(x-3)2 y2=1，
而| |=表示点D(x，y)到点(1，-)的距离，(x-3)2 y2=1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，-)与点(3,0)的距离为，| |的取值范围为[-1， 1].
14.(2014·浙江理，8)记max{x，y}=，min{x，y}=，设a，b为平面向量，则()
A.min{|a b|，|a-b|}≤min{|a|，|b|}
B.min{|a b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}
C.max{|a b|2，|a-b|2}≤|a|2 |b|2
D.max{|a b|2，|a-b|2}≥|a|2 |b|2
[答案] D
[解析] 由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a b|与|a-b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错;
当〈a，b〉为锐角时，|a b|>|a-b|，此时|a b|2>|a|2 |b|2.
当〈a，b〉为钝角时，|a b|<|a-b|，此时|a b|2<|a|2 |b|2<|a-b|2.
当〈a，b〉=90°时，|a b|=|a-b|，此时|a b|2=|a|2 |b|2.
故选D.
二、填空题
15.(2014·山东理，12)在ABC中，已知·=tanA，当A=时，ABC的面积为________.
[答案]
[解析] ·=||||cos=tan
||||=
SABC=||||sin=××=.
16.(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若=2，则=________(用向量a和b表示).
[答案] a b
[解析] 据题意可得= = =a b，又由=2，可得==(a b)=a b
(理)(2013·南昌高三调研)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组则·的最大值为________.
[答案] 12
[解析] 据不等式组得可行域如图所示：
由于z=·=3x 2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解.即zmax=3×4 2×0=12.
三、解答题
17.已知向量a=(cosθ，sinθ)，θ[0，π]，向量b=(，-1).
(1)若ab，求θ的值;
(2)若|2a-b|4.
18.在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.
(1)设向量x=(sinB，sinC)，向量y=(cosB，cosC)，向量z=(cosB，-cosC)，若z(x y)，求tanB tanC的值;
(2)若sinAcosC 3cosAsinC=0，证明：a2-c2=2b2.
[解析] (1)x y=(sinB cosB，sinC cosC)，
z∥(x y)，
cosB(sinC cosC) cosC(sinB cosB)=0，
整理得tanC tanB 2=0，
tanC tanB=-2.
(2)证明：sinAcosC 3cosAsinC=0，
由正、余弦定理得：a· 3××c=0，
a2-c2=2b2.
