一、选择题
1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 ().
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.已知函数f(x)=x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是().
A.(-1,2) B.(-∞，-3)(6， ∞)
C.(-3,6) D.(-∞，-1)(2， ∞)
解析 f′(x)=3x2 2ax (a 6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4a2-4×3(a 6)>0，解得a<-3或a>6.
答案 B
.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y=x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是().
A.f(1)与f(-1) B.f(-1)与f(1)
C.f(-2)与f(2) D.f(2)与f(-2)
解析 由图象知f′(2)=f′(-2)=0.x>2时，y=x·f′(x)>0，f′(x)>0，y=f(x)在(2， ∞)上单调递增;同理f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，
y=f(x)的极大值为f(-2)，极小值为f(2)，故选C.
答案 C.设aR，函数f(x)=ex a·e-x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()
A.ln2 B.-ln2
C. D.
解析 f′(x)=ex-ae-x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)=0，故只能是a=1.此时f′(x)=ex-e-x，设切点的横坐标是x0，则ex0-e-x0=，即2(ex0)2-3ex0-2=0，即(ex0-2)(2ex0 1)=0，只能是ex0=2，解得x0=ln2.正确选项为A.
A
5.设函数f(x)=ax2 bx c(a，b，cR).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是().解析 若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x 1)2，则[f(x)ex]′=f′(x)ex f(x)(ex)′=a(x 1)(x 3)ex，x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件;选项C中，对称轴x=->0，且开口向下，a<0，b>0，f(-1)=2a-b<0，也满足条件;选项D中，对称轴x=-<-1，且开口向上，a>0，b>2a，f(-1)=2a-b<0，与图矛盾，故答案选D.
答案 D
.已知函数f(x)=x3 2bx2 cx 1有两个极值点x1，x2，且x1[-2，-1]，x2[1,2]，则f(-1)的取值范围是().
A. B.
C.[3,12] D.
解析 因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)=3x2 4bx c=0有两个根x1，x2，且x1[-2，-1]，x2[1,2]，所以即
画出可行域如图所示.因为f(-1)=2b-c，由图知经过点A(0，-3)时，f(-1)取得最小值3，经过点C(0，-12)时，f(-1)取得最大值12，所以f(-1)的取值范围为[3,12].
答案 C二、填空题
.函数f(x)=x2-2ln x的最小值为________.
解析 由f′(x)=2x-=0，得x2=1.又x>0，所以x=1.因为0三、解答题
.已知函数f(x)=ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示.(1)求x0的值;
(2)求a，b，c的值.
(1)由f′(x)随x变化的情况
x (-∞，1) 1 (1,2) 2 (2， ∞) f′(x) 0 - 0 可知当x=1时f(x)取到极大值5，则x0=1
(2)f′(x)=3ax2 2bx c，a>0
由已知条件x=1，x=2为方程3ax2 2bx c=0，
的两根，因此解得a=2，b=-9，c=12.
.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= 10(x-6)2，其中30)，且方程f′(x)-9x=0的两根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞， ∞)内无极值点，求a的取值范围.
解 由f(x)=x3 bx2 cx d得f′(x)=ax2 2bx c.
因为f′(x)-9x=ax2 2bx c-9x=0的两个根分别为1,4，
所以(*)
(1)当a=3时，由(*)式得
解得b=-3，c=12.又因为曲线y=f(x)过原点，
所以d=0.故f(x)=x3-3x2 12x.
(2)由于a>0，所以f(x)=x3 bx2 cx d在(-∞， ∞)内无极值点等价于f′(x)=ax2 2bx c≥0在(-∞， ∞)内恒成立.由(*)式得2b=9-5a，c=4a.
又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)，
由得a[1,9].
即a的取值范围是[1,9].
.已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x x2.
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若f(x)≥x2 ax b，求(a 1)b的最大值.
解 (1)由已知得f′(x)=f′(1)ex-1-f(0) x.
所以f′(1)=f′(1)-f(0) 1，即f(0)=1.
又f(0)=f′(1)e-1，所以f′(1)=e.
从而f(x)=ex-x x2.由于f′(x)=ex-1 x，
故当x(-∞，0)时，f′(x)<0;
当x(0， ∞)时，f′(x)>0.
从而，f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0， ∞)上单调递增.
(2)由已知条件得ex-(a 1)x≥b.
(i)若a 1<0，则对任意常数b，当x<0，且x<时，可得ex-(a 1)x0，设g(x)=ex-(a 1)x，
则g′(x)=ex-(a 1).
当x(-∞，ln(a 1))时，g′(x)<0;
当x(ln(a 1)， ∞)时，g′(x)>0.
从而g(x)在(-∞，ln(a 1))上单调递减，在(ln(a 1)， ∞)上单调递增.
故g(x)有最小值g(ln(a 1))=a 1-(a 1)ln(a 1).
所以f(x)≥x2 ax b等价于b≤a 1-(a 1)·ln(a 1).
因此(a 1)b≤(a 1)2-(a 1)2ln(a 1).
设h(a)=(a 1)2-(a 1)2ln(a 1)，则
h′(a)=(a 1)[1-2ln(a 1)].
所以h(a)在(-1，e-1)上单调递增，在(e-1， ∞)上单调递减，故h(a)在a=e-1处取得最大值.
从而h(a)≤，即(a 1)b≤.
当a=e-1，b=时，式成立.故f(x)≥x2 ax b.
综上得，(a 1)b的最大值为.
