1.抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做______________.
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________.抛物线的顶点为____________.
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_________，用e表示，其值为______.
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为________.
2.抛物线的焦点弦
设抛物线y2=2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论.
(1)以AB为直径的圆与准线________.
(2)|AB|=__________(焦点弦长与中点坐标的关系).
(3)|AB|=x1 x2 ______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2=________，y1y2=________.
一、选择题
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3)，它的方程是()
A.x2=-y或y2=x
B.y2=-x或x2=y
C.y2=-x
D.x2=y
2.若抛物线y2=2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()
A.成等差数列
B.既成等差数列又成等比数列
C.成等比数列
D.既不成等比数列也不成等差数列
3.椭圆 =1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
4.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()
A.y2=±4x B.y2=±8x
C.y2=4x D.y2=8x
5.设直线l1：y=2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2=4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.过抛物线y2=ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则 等于()
A.2a B. C.4a D.
二、填空题
7.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________.
8.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________.
9.过抛物线x2=2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则=________.
三、解答题
10.设抛物线y=mx2 (m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程.
11.已知抛物线y2=2px (p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分.求证： 为定值.
能力提升
12.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|等于()
A.4 B.8 C.8 D.16
13.
已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若|AF|=4，求点A的坐标;
(2)求线段AB的长的最小值.
1.抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离.
2.抛物线的焦点弦可以借助于直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解，还要结合抛物线的定义.
2.2 抛物线的简单性质
知识梳理
1.(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴
(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2.(1)相切 (2)2(x0 ) (3)p (4) -p2
作业设计
1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程.]
2.A [设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y=2px1，y=2px2，y=2px3，
因为2y=y y，所以x1 x3=2x2，
即|P1F|- |P3F|-=2，
所以|P1F| |P3F|=2|P2F|.]
3.A [设PF1的中点为A，因为A在y轴上，
所以OA为△F1PF2的中位线，即有|PF2|=2|AO|，
因为F2(3,0)，∴P点坐标为，
即|PF2|=.∴|PF1|=4-=7×=7|PF2|.]
4.B [y2=ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2，令x=0得y=-.
∴××=4，∴a2=64，∴a=±8.]
5.C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的 直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意.∴满足条件的直线l2共有3条.]
6.D [可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|=p=xP = =，
|QF|=q=，∴ = =.]
7.y2=4x
解析 设抛物线方程为y2=ax.
将y=x代入y2=ax，
得x=0或x=a，∴=2.∴a=4.
∴抛物线方程为y2=4x.
8.2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y=4x1，y=4x2.
∴(y1 y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
∵x1≠x2，∴==1.
∴直线AB的方程为y-2=x-2，即y=x.
将其代入y2=4x，得A(0,0)、B(4,4).
∴|AB|=4.又F(1,0)到y=x的距离为，
∴S△ABF=××4=2.
9.
解析 抛物线x2=2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y=x ，
由消去x，得12y2-20py 3p2=0，
解得y1=，y2=.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知===.
10.解 由y=mx2 (m≠0)可化为x2=y，
其准线方程为y=-.
由题意知-=-2或-=4，
解得m=或m=-.
则所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
11.证明 (1)当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴ =.
(2)当AB不垂直于x轴时，设直线AB所在的方程为：y=k，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|=m，|BF|=n，
∴m= x1，n= x2.
将直线AB的方程代入抛物线方程得
k2x2-(k2p 2p)x =0.
∴
∴ ===.
综上可知 为定值.
12.
B [如图所示，直线AF的方程为y=-(x-2)，与准线方程x=-2联立得A(-2,4).
设P(x0,4)，代入抛物线y2=8x，得8x0=48，∴x0=6，
∴|PF|=x0 2=8，选B.]
13.解 由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F(1,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|=x1 ，
从而x1=4-1=3.
代入y2=4x，解得y1=±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，-2).
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x-1).
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2-(2k2 4)x k2=0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1 x2=2 .
由抛物线的定义可知，
|AB|=x1 x2 p=4 >4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，-2)，此时|AB|=4，
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
