一、选择题
1.用数学归纳法证明1 a a2 … an 1=(a≠1，nN )，在验证n=1时，等号左边的项是()
A.1 B.1 a
C.1 a a2 D.1 a a2 a3
2.用数学归纳法证明“2n>n2 1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()
A.2 B.3 C.5 D.6
3.已知f(n)=1 … (nN )，证明不等式f(2n)>时，f(2k 1)比f(2k)多的项数是()
A.2k-1项 B.2k 1项
C.2k项 D.以上都不对
4.用数学归纳法证明(n 1)(n 2)·…·(n n)=2n·1·3·…·(2n 1)(nN )，从“k到k 1”左端需增乘的代数式为()
A.2k 1 B.2(2k 1)
C.2k-1 D.2k
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn yn能被x y整除”时，第一步验证n=1时，命题成立，第二步归纳假设应写成()
A.假设n=2k 1(nN )时命题正确，再推证n=2k 3时命题正确
B.假设n=2k-1(kN )时命题正确，再推证n=2k 1时命题正确
C.假设n=k(kN )时命题正确，再推证n=k 2时命题正确
D.假设n≤k(kN )时命题正确，再推证n=k 2时命题正确
6.用数学归纳法证明不等式“ … > (n>2)”时的过程中，由n=k到n=k 1时，不等式的左边()
A.增加了一项
B.增加了两项，
C.增加了两项，，又减少了一项
D.增加了一项，又减少了一项
二、填空题
7.用数学归纳法证明：1 2 3 … n2=时，则n=k 1时的左端应在n=k时的左端加上____________________________.
8.用数学归纳法证明：1 2 22 … 2n-1=2n-1 (nN )的过程如下：
(1)当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立，即1 2 22 … 2k-1=2k-1，则当n=k 1时，1 2 22 … 2k-1 2k==2k 1-1.所以当n=k 1时等式也成立.由此可知对于任何nN ，等式都成立.上述证明的错误是________________________.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an (nN ).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________.
三、解答题
10.试比较2n 2与n2的大小(nN )，并用数学归纳法证明你的结论.
11.在数列{an}中，a1=，an 1=(n=1,2,3，…)
(1)求a2，a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
能力提升
12.已知f(n)=(2n 7)·3n 9，存在正整数m，使得对任意nN 都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少?并证明之.
13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN ，点(n，Sn)均在函数y=bx r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时，记bn=2(log2an 1)(nN )，
证明：对任意的nN ，不等式··…·>成立.
1.数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用.
2.在证明n=k 1时的命题中，怎样变形使之出现n=k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n=k 1时式子结构或几何量的改变.知识梳理
1.某些与正整数n有关
2.(1)验证：n=1时，命题成立 (2)当n=k 1时，命题成立 一切正整数n
作业设计
1.C [当n=1时，an 1=a2.
等号左边的项是1 a a2.]
2.C [当n取1、2、3、4时2n>n2 1不成立，当n=5时，25=32>52 1=26，第一个能使2n>n2 1的n值为5.]
3.C [观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)=1 … ，
而f(2k 1)=1 … … .
因此f(2k 1)比f(2k)多了2k项.]
4.B [当n=k时左端为(k 1)(k 2)·…·(k k)，当n=k 1时，左端为(k 2)(k 3)…(k 1 k-1)·(k 1 k)(k 1 k 1)，即(k 2)(k 3)…(k k)·(2k 1)(2k 2).
观察比较它们的变化知增乘了=2(2k 1).]
5.B [因n为正奇数，所以否定C、D项;当k=1时，2k-1=1,2k 1=3，故选B.]
6.C [当n=k时，左边= … .
当n=k 1时，左边= … = … .]
7.(k2 1) (k2 2) … (k 1)2
8.没有用到归纳假设，不是数学归纳法
9.Sn=
解析 S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.
10.证明 当n=1时，21 2=4>n2=1，
当n=2时，22 2=6>n2=4，
当n=3时，23 2=10>n2=9，
当n=4时，24 2=18>n2=16，
由此可以猜想，
2n 2>n2 (nN )成立.
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=21 2=4，右边=1，
所以左边>右边，所以原不等式成立.
当n=2时，左边=22 2=6，
右边=22=4，所以左边>右边;
当n=3时，左边=23 2=10，右边=32=9，
所以左边>右边.
假设n=k时(k≥3且kN )时，不等式成立，
即2k 2>k2，那么n=k 1时，
2k 1 2=2·2k 2=2(2k 2)-2>2k2-2.
要证当n=k 1时结论成立，
只需证2k2-2≥(k 1)2，
即证k2-2k-3≥0，
即证(k 1)(k-3)≥0.
又k 1>0，k-3≥0，
(k 1)(k-3)≥0.
所以当n=k 1时，结论成立.
由可知，nN ，2n 2>n2.
11.解 (1)a2===，a3===.
(2)猜想an=，下面用数学归纳法证明此结论正确.
证明：当n=1时，结论显然成立.
假设当n=k(kN )时，结论成立，即ak=，
那么ak 1====.
也就是说，当n=k 1时结论成立.
根据可知，结论对任意正整数n都成立，
即an=.
12.解 f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，
f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，假设n=k(kN ，k≥2)时，f(k)=(2k 7)·3k 9能被36整除，
则n=k 1时，
f(k 1)-f(k)=(2k 9)·3k 1-(2k 7)·3k
=(6k 27)·3k-(2k 7)·3k
=(4k 20)·3k=36(k 5)·3k-2(k≥2).
f(k 1)能被36整除.
因此，对任意nN ，f(n)都能被36整除.
又f(1)不能被大于36的数整除，
所求最大的m值等于36.
13.(1)解 由题意：Sn=bn r，
当n≥2时，Sn-1=bn-1 r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b r，a2=b(b-1)，
=b，即=b，解得r=-1.
(2)证明 当b=2时，由(1)知an=2n-1，
因此bn=2n(n∈N )，
所证不等式为··…·>.
当n=1时，左式=，右式=.
左式>右式，所以结论成立，
假设n=k(kN )时结论成立，
即··…·>，
则当n=k 1时，
··…·>·=.
要证当n=k 1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式=≥成立，
故≥成立，
所以当n=k 1时，结论成立.
由可知，nN 时，不等式··…·>成立.
