1.平面图形的面积表示

一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，x=b所围成的平面图形的面积为S，则________________________.

2.旋转体的体积

旋转体可以看作由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V=π[f(x)]2dx.

一、选择题

1.将由y=cos x，x=0，x=π，y=0所围图形的面积写成定积分形式为()

A.cos xdx B.0cos xdx |πcos xdx|

C.2sin xdx D.2|cos x|dx

2.由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围图形的面积为()

A. B. C.ln2 D.2ln2

3.由曲线y=x3、直线x=-2、x=2和x轴围成的封闭图形的面积是()

A.x3dx B.|x3dx|

C.|x3|dx D.x3dx x3dx

4.由曲线y=x2-1、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积是()

A.(x2-1)dx

B.|(x2-1)dx|

C.|x2-1|dx

D.(x2-1)dx (x2-1)dx

5.由y=x2，x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积可以表示为()

A.V=π()2dy=

B.V=π[12-(x2)2]dx=π

C.V=π(x2)2dy=

D.V=π(12-x2)dx=π

6.由y=e-x，x=0，x=1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()

A.(1-e-2)B.

C.(1-e)D.e-2

二、填空题

7.由曲线y=x2 4与直线y=5x，x=0，x=4所围成平面图形的面积是________.

8.直线x=k平分由y=x2，y=0，x=1所围图形的面积，则k的值为________.

9.曲线y=，直线x=2，x=3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积是________.

三、解答题

10.计算曲线y=x2-2x 3与直线y=x 3所围成的图形的面积.

11.求由曲线y=4x-x2和直线y=x所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积.

能力提升

12.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为________.

13.在曲线y=x2 (x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程.

1.明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积.求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积.特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值.

2.对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积.知识梳理

1.S=f(x)dx-g(x)dx

作业设计

1.B　[定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]

2.D　[所求面积2dx=ln x|2=ln 2-ln =2ln 2.]

3.C　4.C　5.B

6.A　[V=π(e-x)2dx

=πe-2xdx

=-e-2x|=(1-e-2).]

7.

解析

由，

得x=1或x=4.

所求面积为S=(x2 4-5x)dx (5x-x2-4)dx

=| |=.

8.

解析　作平面图形，如右图所示.

由题意，得

x2dx=x2dx

即x3|=x3|.

k3=，k=.

9.π

解析　V=π·()2dx=|=π.

10.

解　由

解得x=0或x=3.

S=(x 3)dx-(x2-2x 3)dx

=[(x 3)-(x2-2x 3)]dx

=(-x2 3x)dx=|=.

所围成的图形的面积为.

11.解　由y=4x-x2得顶点P(2,4)，

联立方程，得交点Q(3,3)，O(0,0).

如图所示

又由上图知

V=π·y2dy π(2 )2dy-π(2-)2dy

=π·y3| π|-π|

=π=π.

12.A　[由题可知y=x2，y=x3围成的封闭图形的面积为(x2-x3)dx=|

=-=.]

13.解　由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y=2x0x-x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y=x2，直线y=2x0x-x与x轴所围图形如图所示. 故S=S1 S2=0x2dx

=x3|0 x3|x0-(x0x2-xx)|x0==，

解得x0=1，

所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y=2x-1.