一、选择题

1.(2013·重庆模拟)设{an}是等比数列，函数y=x2-x-2013的两个零点是a2、a3，则a1a4=()

A.2013　 B.1

C.-1 D.-2013

[答案]　D

[解析]　由条件得，a1a4=a2a3=-2013.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2 n，数列{bn}满足bn=(nN*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于()

A.　1　 　B.　-1 C.　0 D.2

[答案]　D

[解析]　数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2 n，n=1时，a1=2;n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，an=2n(nN*)，bn===(-)，T9=[(1-) (-) … (-)]=×(1-)=.

3.已知函数f(x)满足f(x 1)= f(x)(xR)，且f(1)=，则数列{f(n)}(nN*)前20项的和为()

A.305 B.315 C.325 D.335

[答案]　D

[解析]　f(1)=，f(2)= ，

f(3)= ，…，

f(n)= f(n-1)，

{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列.

S20=20× ×=335.

4.等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()

[答案]　C

[解析]　Sn=na1 d，Sn=n2 (a1-)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧.

[点评]　可取特殊数列验证排除，如an=3-n.

5.(文)已知函数f(x)=log2x，等比数列{an}的首项a1>0，公比q=2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)=25，则2f(a1) f(a2) … f(a2012)等于()

A.21004×2009 B.21005×2009 C.21005×2011 D.21006×2011

[答案]　D

[解析]　f(a2·a4·a6·a8·a10)

=log2(a2·a4·a6·a8·a10)=log2(aq25)=25，

即a·q25=225，

又a1>0，q=2，故得到a1=1.

2f(a1) f(a2) … f(a2012)=2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2012)

=2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012

=a1·a2·…·a2012=a·q1 2 … 2011

=12012×2=21006×2011.故选D.

(理)(2013·成都市二诊)已知数列{an}满足an 2-an 1=an 1-an，nN*，且a5=.若函数f(x)=sin2x 2cos2，记yn=f(an)，则数列{yn}的前9项和为()

A.0　 B.-9 　C.9　 D.1

[答案]　C

[解析]　据已知得2an 1=an an 2，即数列{an}为等差数列，又f(x)=sin2x 2×=sin2x 1 cosx，因为a1 a9=a2 a8=…=2a5=π，故cosa1 cosa9=cosa2 cosa8=…=cosa5=0，又2a1 2a9=2a2 2a8=…=4a5=2π，故sin2a1 sin2a9=sin2a2 sin2a8=…=sin2a5=0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.

6.(文)(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an=2014sin，则a1 a2 … a2014=()

A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

[答案]　C

[解析]　数列{an}的周期为4，且a1 a2 a3 a4=2014(sin sinπ sin sin2π)=0，

又2014=4×503 2，

a1 a2 … a2014=a1 a2=2014sin 2014sinπ=2014.

(理)已知an=，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是()

A.an与Sn都有最大值

B.an与Sn都没有最大值

C.an与Sn都有最小值

D.an与Sn都没有最小值

[答案]　C

[解析]　画出an=的图象，

点(n，an)为函数y=图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大

二、填空题

7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(m).

[答案]　2000

[解析]　设放在第x个坑边，则

S=20(|x-1| |x-2| … |20-x|)

由式子的对称性讨论，当x=10或11时，

S=2000.

当x=9或12时，S=20×102=2040，…，当x=1或19时，S=3800.

Smin=2000(m).

8.(2014·广东理，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11 a9a12=2e5，则lna1 lna2 … lna20=________.

[答案]　50

[解析]　a10a11 a9a12=2e5，a1·a20=e5.

又lna1 lna2 … lna20=ln(a1a2…a20)

=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]

=ln(e5)10=lne50=50.

注意等比数列性质：若m n=p q，则am·an=ap·aq，对数的性质logamn=nlogam.

三、解答题

9.(2013·天津理，19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3 a3，S5 a5，S4 a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn=Sn-(nN*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3 a3，S5 a5，S4 a4成等差数列，所以S5 a5-S3-a3=S4 a4-S5-a5，即4a5=a3，

于是q2==.

又{an}不是递减数列且a1=，所以q=-.

故等比数列{an}的通项公式为an=×(-)n-1=(-1)n-1·.

(2)由(1)得

Sn=1-(-)n=

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1Sn-≥S2-=-=-.

综上，对于nN*，总有-≤Sn-≤.

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为-.

10.(文)(2014·唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中，a3 a10=15，且a2，a5，a11成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn= … ，试比较bn 1与bn的大小，并说明理由.

[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得

注意到d≠0，解得a1=2，d=1.

所以an=n 1.(nN ).

(2)由(1)可知

bn= … ，bn 1= … ，

因为bn 1-bn= -=->0，

所以bn 1>bn.

(理)(2013·呼和浩特市二调)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列.

(1)求{an}的公比q;

(2)若a1-a3=-，求数列{n·an}的前n项和Tn.

[解析]　(1)由已知得2S3=S1 S2，

2(a1 a2 a3)=a1 (a1 a2)，

a2 2a3=0，an≠0，

1 2q=0，q=-.

(2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1-)=a1=-，

a1=-2，an=(-2)·(-)n-1=(-)n-2，

nan=n(-)n-2.

Tn=1·(-)-1 2·(-)0 3·(-)1 … n·(-)n-2，

∴-Tn=1·(-)0 2·(-)1 3·(-)2 … n·(-)n-1，

①-得

Tn=-2 [(-)0 (-)1 (-)2 … (-)n-2]-n·(-)n-1

=--(-)n-1( n)，

Tn=--(-)n-1( n).

一、选择题

11.(文)设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2) f(4) … f(2n)等于()

A.n(2n 3) B.n(n 4)

C.2n(2n 3) D.2n(n 4)

[答案]　A

[解析]　设f(x)=kx 1(k≠0)，则(4k 1)2=(k 1)×(13k 1)k=2，

f(2) f(4) … f(2n)=(2×2 1) (2×4 1) (2×6×1) … (2×2n 1)=2n2 3n.

(理)已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1、a49是2x2-7x 6=0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为()

A. B.9 C.±9 D.35

[答案]　B

[解析]　{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2-7x 6=0的两根，

a1·a49=a=3.而an>0，a25=.

a1·a2·a25·a48·a49=a=()5=9，故选B.

12.(2014·哈三中二模)在等差数列{an}中，a1 a2 a3=-18，a18 a19 a20=78，则此数列前20项的和等于()

A.160 B.180 C.200 D.220

[答案]　C

[解析]　a1 a2 a3=-18，a18 a19 a20=78，

(a1 a20) (a2 a19) (a3 a18)=60，

a1 a20=20，S20==10×20=200.

13.(2013·福建理，6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是()

A.计算数列{2n-1}的前10项和

B.计算数列{2n-1}的前9项和

C.计算数列{2n-1}的前10项和

D.计算数列{2n-1}的前9项和

[答案]　A

[解析]　由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算，结果为1 2 4 9 … 29，故选A.

二、填空题

14.(2014·河北名校名师俱乐部模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a3=________.

[答案]

[解析]　解法1：S6=4S3，a4 a5 a6=3(a1 a2 a3)=(a1 a2 a3)q3，

q3=3，q=，a3=a1q2=.

解法2：a1=1，S6=4S3，=，

1 q3=4，

q3=3，q=，a3=a1q2=.

15.已知向量a=(2，-n)，b=(Sn，n 1)，nN*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若ab，则数列{}的最大项的值为________.

[答案]

[解析]　a⊥b，a·b=2Sn-n(n 1)=0，

Sn=，an=n，

==，当n=2时，n 取最小值4，此时取到最大值.

三、解答题

16.(2014·沈阳市质检)在ABC中，角A、B、C的对应边分别是a、b、c，满足b2 c2=bc a2.

(1)求角A的大小;

(2)已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.

[解析]　(1)b2 c2-a2=bc，

==，

cosA=，

又A∈(0，π)，A=.

(2)设{an}的公差为d，由已知得a1==2，

且a=a2·a8，

(a1 3d)2=(a1 d)(a1 7d)，且d不为零，

d=2，

an=2n.

==-，

Sn=(1-) (-) (-)… (-)=1-=.

17.(文)定义：若数列{An}满足An 1=A，则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=2，点(an，an 1)在函数f(x)=2x2 2x的图象上，其中n为正整数.

(1)证明：数列{2an 1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an 1)}为等比数列;

(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=(2a1 1)(2a2 1)…(2an 1)，求Tn关于n的表达式;

(3)记bn=log2an 1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn>2012成立的n的最小值.

[解析]　(1)证明：由题意得an 1=2a 2an，

2an 1 1=4a 4an 1=(2an 1)2.

所以数列{2an 1}是“平方递推数列”.

令cn=2an 1，所以lgcn 1=2lgcn.

因为lg(2a1 1)=lg5≠0，

所以=2.

所以数列{lg(2an 1)}为等比数列.

(2)由(1)知lg(2an 1)=(lg5)×2n-1，

2an 1=10(lg5)×2n-1=52n-1，

Tn=520×521×522×…×52n-1=520 21 … 2n-1=52n-1.

(3)bn=log2an 1Tn==2-()n-1，

Sn=b1 b2 … bn=2n-

=2n-2 ，

由2n-2=2012得n=1007，

S1006=2×1006-2 (2010,2011)，S1007=2×1007-2 (2012,2013).

故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.

(理)已知曲线C：xy=1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn=-的直线交曲线C于另一点An 1(xn 1，yn 1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=.

(1)求xn与xn 1的关系式;

(2)令bn= ，求证：数列{bn}是等比数列;

(3)若cn=3n-λbn(λ为非零整数，nN*)，试确定λ的值，使得对任意nN*，都有cn 1>cn成立.

[分析]　(1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy=1上，有xnyn=1，消去yn得xn与xn 1的关系;(2)由定义证为常数;(3)转化为恒成立的问题解决.

[解析]　(1)过点An(xn，yn)的直线方程为y-yn=-(x-xn)，

联立方程，消去y得

x2-x 1=0.

解得x=xn或x=.

由题设条件知xn 1=.

(2)证明：=

====-2.

b1= =-2≠0，数列{bn}是等比数列.

(3)由(2)知，bn=(-2)n，要使cn 1>cn恒成立，由cn 1-cn=[3n 1-λ(-2)n 1]-[3n-λ(-2)n]=2·3n 3λ(-2)n>0恒成立，

即(-1)nλ>-n-1恒成立.

当n为奇数时，即λ-n-1恒成立，

又-n-1的最大值为-，λ>-，

即-