题型一 双曲线的渐近线问题
例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________.
破题切入点 根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线.
答案 y=±x
解析 由e==知，a=2k，c=k，k∈(0， ∞)，
由b2=c2-a2=k2，知b=k.所以=.
即渐近线方程为y=±x.
题型二 双曲线的离心率问题
例2 已知O为坐标原点，双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若( )·=0，则双曲线的离心率e为________.
破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系.
答案
解析 如图，设OF的中点为T，由( )·=0可知AT⊥OF，
又A在以OF为直径的圆上，∴A，
又A在直线y=x上，∴a=b，∴e=.
题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题
例3 已知A(1,2)，B(-1,2)，动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
破题切入点 先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解.
答案 (1,2)
解析 设P(x，y)，由题设条件，
得动点P的轨迹为(x-1)(x 1) (y-2)·(y-2)=0，
即x2 (y-2)2=1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.
又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，
由题意，可得>1，即>1，
所以e=<2，
又e>1，故11的条件，常用到数形结合.
(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y=±x±=0-=0，所以可以把标准方程-=1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于==，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大.
1.已知双曲线-=1(a>0，b>0)以及双曲线-=1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线-=1的离心率为________.
答案 2或
解析 由题意，可知双曲线-=1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则=或.
则e===
= =或2.
2.已知双曲线C：-=1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 取双曲线的渐近线y=x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y=-(x-c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程-=1可得-=1，整理得c2=2a2，即可得e==.
3.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2 y2-6x 5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________.
答案 -=1
解析 ∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，
圆C的标准方程为(x-3)2 y2=4，
∴圆心为C(3,0).
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx-ay=0与圆C相切，
∴=2，∴5b2=4a2.①
又∵-=1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，
∴a2 b2=9.②
由①②得a2=5，b2=4.
∴双曲线的标准方程为-=1.
4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使=，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
答案 (1， 1)
解析 根据正弦定理得=，
由=，
可得=，即==e，
所以PF1=ePF2.
因为e>1，
所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上.
又PF1-PF2=ePF2-PF2=PF2(e-1)=2a，
解得PF2=.
因为PF2>c-a(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，
所以>c-a，即>e-1，
即(e-1)2<2，解得e< 1.
又e>1，所以e∈(1， 1).
5.(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________.
答案
解析 设PF1=r1，PF2=r2(r1>r2)，
F1F2=2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，
由(2c)2=r r-2r1r2cos ，
得4c2=r r-r1r2.
由得
所以 ==.
令m===
=，
当=时，mmax=，
所以()max=，
即 的最大值为.
6.(2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为 =1，双曲线C2的方程为-=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________.
答案 x±y=0
解析 由题意知e1=，e2=，
∴e1·e2=·==.
又∵a2=b2 c，c=a2 b2，
∴c=a2-b2，
∴==1-()4，
即1-()4=，
解得=±，∴=.
令-=0，解得bx±ay=0，
∴x±y=0.
7.若椭圆 =1(a>b>0)与双曲线-=1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________.
答案 (0,1)
解析 可知e==1-，
e==1 ，
所以e e=2>2e1e100，b>0)的左焦点F作圆x2 y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________.
答案
解析 设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′=2×=a，故PF=3a，根据勾股定理得FF′=a.所以双曲线的离心率为=.
9.(2014·浙江)设直线x-3y m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA=PB，则该双曲线的离心率是________.
答案
解析 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
由得A(，)，
由得B(，)，
所以AB的中点C坐标为(，).
设直线l：x-3y m=0(m≠0)，
因为PA=PB，所以PC⊥l，
所以kPC=-3，化简得a2=4b2.
在双曲线中，c2=a2 b2=5b2，
所以e==.
10.(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1 PF2=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 不妨设PF1>PF2，
则PF1-PF2=2a，
又∵PF1 PF2=6a，
∴PF1=4a，PF2=2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2=30°，
由正弦定理得，∠PF2F1=90°，∴F1F2=2a，
∴双曲线C的离心率e==.
11.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ ，求λ的值.
解 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上，
有-=1.
由题意有·=，
可得a2=5b2，c2=a2 b2=6b2，
则e==.
(2)联立得4x2-10cx 35b2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则①
设=(x3，y3)，=λ ，
即
又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，
有(λx1 x2)2-5(λy1 y2)2=5b2.
化简得λ2(x-5y) (x-5y) 2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由(1)可知c2=6b2，
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2 5c(x1 x2)-5c2=10b2.
得λ2 4λ=0，解得λ=0或λ=-4.
12.(2014·江西)如图，已知双曲线C：-y2=1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.
解 (1)设F(c,0)，
直线OB方程为y=-x，
直线BF的方程为y=(x-c)，解得B(，-).
又直线OA的方程为y=x，
则A(c，)，kAB==.
又因为AB⊥OB，所以·(-)=-1，
解得a2=3，
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知a=，则直线l的方程为
-y0y=1(y0≠0)，即y=.
因为c==2，所以直线AF的方程为x=2，
所以直线l与AF的交点为M(2，);
直线l与直线x=的交点为N(，).
则==
=·.
因为P(x0，y0)是C上一点，则-y=1，
代入上式得=·
=·=，
即==为定值.
