题型一 利用椭圆的几何性质解题
例1 如图，焦点在x轴上的椭圆 =1的离心率e=，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值.
破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围.
解 设P点坐标为(x0，y0).由题意知a=2，
∵e==，∴c=1，∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为 =1.
∴-2≤x0≤2，-≤y0≤.
又F(-1,0)，A(2,0)，=(-1-x0，-y0)，
=(2-x0，-y0)，
∴·=x-x0-2 y
=x-x0 1=(x0-2)2.
当x0=2时，·取得最小值0，
当x0=-2时，·取得最大值4.
题型二 直线与椭圆相交问题
例2 已知直线l过椭圆8x2 9y2=72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长.
破题切入点 根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出.
解 由得11x2-18x-9=0.
由根与系数的关系，得xM xN=，
xM·xN=-.
由弦长公式|MN|=|xM-xN|=·==.
题型三 点差法解题，设而不求思想
例3 已知椭圆 y2=1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解.
解 设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为R(x，y)，
则x 2y=2，x 2y=2，
两式相减并整理可得，
=-=-，①
将=2代入式①，
得所求的轨迹方程为x 4y=0(-MN，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
3.已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________.
答案 =1
解析 设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0).
由点(2，)在椭圆上知 =1.
又PF1，F1F2，PF2成等差数列，
则PF1 PF2=2F1F2，
即2a=2·2c，=.
又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=6.
4.(2014·大纲全国改编)已知椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为________.
答案 =1
解析 由e=，得=.①
又△AF1B的周长为4，
由椭圆定义，得4a=4，得a=，
代入①得c=1，所以b2=a2-c2=2，
故C的方程为 =1.
5.(2014·福建改编)设P，Q分别为圆x2 (y-6)2=2和椭圆 y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________.
答案 6
解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2 (y-6)2=r2(r>0)，与椭圆方程 y2=1联立得方程组，消掉x2得9y2 12y r2-46=0.
令Δ=122-4×9(r2-46)=0，
解得r2=50，
即r=5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r =6.
6.如图，F1，F2是椭圆C1： y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________.
答案
解析 设AF1=m，AF2=n，
则有m n=4，m2 n2=12，
因此12 2mn=16，所以mn=2，
而(m-n)2=(2a)2=(m n)2-4mn=16-8=8，
因此双曲线的a=，c=，则有e==.
7.椭圆 =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________.
答案
解析 由椭圆的性质可知：AF1=a-c，F1F2=2c，F1B=a c，
又AF1，F1F2，F1B成等比数列，
故(a-c)(a c)=(2c)2，
可得=.
8.(2014·辽宁)已知椭圆C： =1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN BN=________.
答案 12
解析 椭圆 =1中，a=3.
如图，设MN的中点为D，
则DF1 DF2=2a=6.
∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
∴BN=2DF2，
AN=2DF1，
∴AN BN=2(DF1 DF2)=12.
9.(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C： =1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴ =0，
∴=-·.
∵=-，
x1 x2=2，y1 y2=2，
∴-=-，
∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2，
∴a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2，∴=.
10.(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2 =1(0b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F1N，求a，b.
解 (1)根据c=及题设知M(c，)，
=，2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac，
解得=，=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故=4，即b2=4a.①
由MN=5F1N，得DF1=2F1N.
设N(x1，y1)，由题意知y1b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2=，求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(-c,0)，F2(c,0).
(1)因为B(0，b)，所以BF2==a.
又BF2=，故a=.
因为点C在椭圆上，
所以 =1，解得b2=1.
故所求椭圆的方程为 y2=1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为 =1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，
可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=，
直线AB的斜率为-，且F1C⊥AB，
所以·=-1.
又b2=a2-c2，整理得a2=5c2.
故e2=，因此e=.
