题型一 直线和圆的位置关系的判断问题
例1 已知圆C：x2 y2-4x=0，l是过点P(3,0)的直线，则l与C的位置关系为________.
破题切入点 由于不知道直线l的方程，于是需要求P点与圆C的位置关系.
答案 相交
解析 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32 02-4×3=9-12=-3<0，
∴点P(3,0)在圆内.
∴过点P的直线l一定与圆C相交.
题型二 弦长问题
例2 若圆上一点A(2,3)关于直线x 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y 1=0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________.
破题切入点 将已知条件转化为直线x 2y=0过圆心，弦长可通过几何法表示.
答案 (x-6)2 (y 3)2=52或(x-14)2 (y 7)2=244
解析 设圆的方程为(x-a)2 (y-b)2=r2，点A(2,3)关于直线x 2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x 2y=0上，即有a 2b=0，又(2-a)2 (3-b)2=r2，而圆与直线x-y 1=0相交的弦长为2，故r2-2=2，
依据上述方程，解得或
所以，所求圆的方程为(x-6)2 (y 3)2=52或(x-14)2 (y 7)2=244.
题型三 直线和圆的综合性问题
例3 如图所示，已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1：x 2y 7=0相切，过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当=2时，求直线l的方程;
(3)B·B是否为定值?如果是，求出其定值;如果不是，请说明理由.
破题切入点 (1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程.
(2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意利用几何法，以减小计算量.
(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.
解 (1)设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1：x 2y 7=0相切，
∴R==2.
∴圆A的方程为(x 1)2 (y-2)2=20.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意;
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x 2)，即kx-y 2k=0.连结AQ，则AQ⊥MN.
∵=2，∴|AQ|==1.
由==1，得k=.
∴直线l的方程为3x-4y 6=0.
∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y 6=0.
(3)∵AQ⊥BP，∴A·B=0.
∴B·B=(B A)·B
=B·B A·B=B·B.
当直线l与x轴垂直时，得P.
则B=，又B=(1,2)，
∴B·B=B·B=-5.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x 2).
由解得P.
∴B=.
∴B·B=B·B=-=-5.
综上所述，B·B是定值，且B·B=-5.
总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数;二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较，当d>r时相离，d=r时相切，d0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为________.
答案 6
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r=1，且|AB|=2m.
因为∠APB=90°，连结OP，
易知|OP|=|AB|=m.
要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
因为|OC|==5，
所以|OP|max=|OC| r=6，
即m的最大值为6.
4.(2014·福建改编)直线l：y=kx 1与圆O：x2 y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的________条件.
答案 充分不必要
解析 将直线l的方程化为一般式得kx-y 1=0，所以圆O：x2 y2=1的圆心到该直线的距离d=.又弦长为2=，所以S△OAB=··==，解得k=±1.因此可知“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.
5.直线x y-2=0与圆x2 y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度为________.
答案 2
解析 ∵圆心到直线x y-2=0的距离
d==1，半径r=2，
∴弦长|AB|=2=2=2.
6.“a=b”是“直线y=x 2与圆(x-a)2 (x-b)2=2相切”的________条件.
答案 充分不必要
解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为：=|a-b 2|=2a=b或a-b=-4，故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
7.已知圆C1：x2 y2-2mx 4y m2-5=0与圆C2：x2 y2 2x-2my m2-3=0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m=________.
答案 -5或2
解析 对于圆C1与圆C2的方程，配方得
圆C1：(x-m)2 (y 2)2=9，圆C2：(x 1)2 (y-m)2=4，
则C1(m，-2)，r1=3，C2(-1，m)，r2=2.
如果圆C1与圆C2相外切，那么有C1C2=r1 r2，
即=5，
则m2 3m-10=0，解得m=-5或m=2，
所以当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2相外切.
8.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________.
答案 x2 2=
解析 ∵圆C关于y轴对称，
∴圆C的圆心在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2 (y-b)2=r2.
依题意，得解得
∴圆C的方程为x2 2=.
9.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x 2y-3=0被圆(x-2)2 (y 1)2=4截得的弦长为________.
答案
解析 圆心为(2，-1)，半径r=2.
圆心到直线的距离d==，
所以弦长为2=2=.
10.(2014·山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________.
答案 (x-2)2 (y-1)2=4
解析 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，
由题意得a=2b>0，且a2=()2 b2，
解得a=2，b=1.
所以，所求圆的标准方程为(x-2)2 (y-1)2=4.
11.已知点M(3,1)，直线ax-y 4=0及圆(x-1)2 (y-2)2=4.
(1)求过M点的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y 4=0与圆相切，求a的值;
(3)若直线ax-y 4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值.
解 (1)圆心C(1,2)，半径为r=2，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，
此时，直线与圆相切.
当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3)，
即kx-y 1-3k=0.
由题意知=2，
解得k=.
所以直线方程为y-1=(x-3)，
即3x-4y-5=0.
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意有=2，
解得a=0或a=.
(3)∵圆心到直线ax-y 4=0的距离为，
∴()2 ()2=4，
解得a=-.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2 y2-12x 32=0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在常数k，使得向量 与共线?如果存在求k的值;如果不存在，请说明理由.
解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2 y2=4，
所以圆心为Q(6,0).
过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx 2，
代入圆的方程得x2 (kx 2)2-12x 32=0，
整理得(1 k2)x2 4(k-3)x 36=0.①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
Δ=[4(k-3)]2-4×36(1 k2)=42(-8k2-6k)>0，
