题型一　平面向量数量积的基本运算

例1　已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为________.

破题切入点　对于四边形OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是∠APB，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·;还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化.

答案　-3 2

解析　方法一　设||=||=x，∠APB=θ，

则tan =，

从而cos θ==.

·=||·||·cos θ

=x2·=

=

=x2 1 -3≥2-3，

当且仅当x2 1=，

即x2=-1时取等号，

故·的最小值为2-3.

方法二　设∠APB=θ，0<θ<π，

则||=||=.

·=||||cos θ

=()2cos θ

=·(1-2sin2)

=.

令x=sin2，04|a|，则Smin>0;

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|2，则a与b的夹角为.

答案　②④

解析　∵xi，yi(i=1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，

∴S=xiyi，可能情况有以下三种：

(1)S=2a2 3b2;

(2)S=a2 2a·b 2b2;

(3)S=4a·b b2.

∵2a2 3b2-(a2 2a·b 2b2)=a2 b2-2a·b=a2 b2-2|a||b|cos θ≥0，

a2 2a·b 2b2-4a·b-b2=a2 b2-2a·b≥0，

∴S的最小值为Smin=b2 4a·b.

因此S最多有3个不同的值，故①不正确.

当a⊥b时，S的最小值为Smin=b2与|a|无关，故②正确.

当a∥b时，S的最小值为Smin=b2 4|a||b|或Smin=b2-4|a||b|与|b|有关，故③不正确.

当|b|>4|a|时，Smin=b2 4|a||b|cos θ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0，故④正确.

当|b|=2|a|时，由Smin=b2 4a·b=8|a|2知，4a·b=4a2，即a·b=a2，∴|a||b|cos θ=a2，∴cos θ=，

∴θ=，故⑤不正确.

因此正确命题的编号为②④.

11.已知向量a=(sin x，)，b=(cos x，-1).

(1)当a∥b时，求cos2x-sin 2x的值;

(2)设函数f(x)=2(a b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B=，求f(x) 4cos(2A )(x∈[0，])的取值范围.

解　(1)因为a∥b，

所以cos x sin x=0.

所以tan x=-.

故cos2x-sin 2x=

==.

(2)f(x)=2(a b)·b

=2(sin x cos x，-)·(cos x，-1)

=sin 2x cos 2x =sin(2x ) .

由正弦定理，得=，

所以sin A===.

所以A=或A=.

因为b>a，所以A=.

所以f(x) 4cos(2A )=sin(2x )-.

因为x∈[0，]，

所以2x ∈[，].

所以-1≤f(x) 4cos(2A )≤-.

所以f(x) 4cos(2A )的取值范围为[-1，-].

12.在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足=.

(1)求|-|;

(2)存在实数t≥1，使得向量x= t，y=t ，令k=x·y，求k的最小值.

解　(1)由=，且A，B，D三点共线，

可知||=||.

又AD=5，所以DB=11.

在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，

在Rt△BDC中，BC2=DB2 CD2=196，

所以BC=14.

所以|-|=||=14.

(2)由(1)，知||=16，||=10，||=14.

由余弦定理，得cos A==.

由x= t，y=t ，

知k=x·y

=( t)·(t )

=t||2 (t2 1)· t||2

=256t (t2 1)×16×10× 100t

=80t2 356t 80.

由二次函数的图象，可知该函数在[1， ∞)上单调递增，

所以当t=1时，k取得最小值516.