题型一　函数零点所在区间问题

例1　函数f(x)= ln 的零点所在的大致区间是(n，n 1)，则n=________.

破题切入点　确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间.

答案　2

解析　f(x)= ln =-ln(x-1)，

函数的定义域为(1， ∞).

当10，

所以f(x)>0，故函数在(1,2)上没有零点.

f(2)=-ln 1=1>0，

f(3)=-ln 2==，

因为=2≈2.828，所以>e，

故 ln e0)的解的个数是________.

答案　2

解析　(数形结合法)

∵a>0，∴a2 1>1.而y=|x2-2x|的图象如图，∴y=|x2-2x|的图象与y=a2 1的图象总有两个交点.

3.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(00时，由f(x)=0，即ln(x2-x 1)=0，

得x2-x 1=1，解得x=0(舍去)或x=1.

当x≤0时，f(x)=ex-x-2，f′(x)=ex-1≤0，

所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递减.

而f(0)=e0-0-2=-1<0，f(-2)=e-2-(-2)-2=e-2>0，

故函数f(x)在(-2,0)上有且只有一个零点.

综上，函数f(x)有两个零点.

5.(2013·天津改编)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为________.

答案　2

解析　当01时，f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1，

令f(x)=0得log2x=x，

由y=log2x，y=x的图象知在(1， ∞)上有一个交点，即f(x)在(1， ∞)上有一个零点，综上有两个零点.

6.已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x)) 1的零点个数的判断正确的是________.

①当k>0时，有3个零点;当k<0时，有2个零点;

②当k>0时，有4个零点;当k<0时，有1个零点;

③无论k为何值，均有2个零点;

④无论k为何值，均有4个零点.

答案　②

解析　当k>0时，f(f(x))=-1，综合图(1)分析，

则f(x)=t1∈(-∞，-)或f(x)=t2∈(0,1).

对于f(x)=t1，存在两个零点x1，x2;

对于f(x)=t2，存在两个零点x3，x4.

此时共计存在4个零点.

当k<0时，f(f(x))=-1，结合图(2)分析，

则f(x)=t∈(0,1)，此时仅有1个零点x0.故②正确.

7.已知函数f(x)=logax x-b(a>0，且a≠1)，当20，

因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n=2.

8.方程2-x x2=3的实数解的个数为________.

答案　2

解析　方程变形为3-x2=2-x=()x，

令y1=3-x2，y2=()x.

如图所示，由图象可知有2个交点.

9.(2014·连云港模拟)已知函数f(x)=2ax2 2x-3.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________.

答案

解析　若a=0，则f(x)=2x-3，

f(x)=0x=[-1,1]，不合题意，故a≠0.

下面就a≠0分两种情况讨论：

(1)当f(-1)·f(1)≤0时，f(x)在[-1,1]上至少有一个零点，即(2a-5)(2a-1)≤0，解得≤a≤.

(2)当f(-1)·f(1)>0时，f(x)在[-1,1]上有零点的条件是　解得a>.

综上，实数a的取值范围为.

10.(2014·天津)已知函数f(x)=

若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.

答案　10).

当a=2时，函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.

当y=a|x|(x≤0)与y=|x2 5x 4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点，

此时，由得x2 (5-a)x 4=0.

由Δ=0得(5-a)2-16=0，解得a=1，或a=9(舍去)，

则当1-7且b≠-3.

∴存在满足条件的b，且b的取值范围是(-7，-3)∪(-3， ∞).

12.(2014·四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数.

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;

(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e-20，g(1)=e-2a-b>0.

由f(1)=0，有a b=e-1<2，有

g(0)=a-e 2>0，g(1)=1-a>0.

解得e-2