题型一 分段函数的值域问题
例1 函数f(x)=的值域为________.
破题切入点 求各段值域，然后求并集.
答案 (-∞，2)
解析 因为当x≥1时，f(x)=log2=-log2x≤0，
当x<1时，02时，f(x) b=0有四个根，满足题意，所以b<-2.
题型三 分段函数的综合性问题
例3 已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围.
破题切入点 分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论.
解 (1)∵函数f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x).
当x>0时，-x<0，有(-x)2-mx=-(-x2 2x)，
即x2-mx=x2-2x.
∴m=2.
(2)由(1)知f(x)=
当x>0时，f(x)=-x2 2x=-(x-1)2 1，
∴当x∈[1， ∞)时，f(x)单调递减;
当x∈(0,1]时，f(x)单调递增.
当x<0时，f(x)=x2 2x=(x 1)2-1，
∴当x∈(-∞，-1]时，f(x)单调递减;
当x∈[-1,0)时，f(x)单调递增.
综上知：函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
又函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增.
∴解之得11时，1-log2x≤2，解得x≥，
所以x>1.综上可知x≥0.
2.已知函数f(x)=是(-∞， ∞)上的减函数，那么a的取值范围是________.
答案 (0,2]
解析 由题意，得解得02;
由x≥g(x)得x≥x2-2，∴-1≤x≤2.
∴f(x)=
即f(x)=
当x<-1时，f(x)>2;当x>2时，f(x)>8.
∴当x∈(-∞，-1)∪(2， ∞)时，函数的值域为(2， ∞).
当-1≤x≤2时，-≤f(x)≤0.
∴当x∈[-1,2]时，函数的值域为[-，0].
综上可知，f(x)的值域为[-，0]∪(2， ∞).
4.已知f(x)= 则下列函数的图象错误的是________.
答案 ④
解析 先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象，再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象，因此①正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y=f(-x)的图象，因此②正确;y=f(x)的值域是[0,2]，因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合，③正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y=f(|x|)=，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确.
5.设函数f(x)=若f(m)>f(-m)，则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞，-1)∪(0,1)
解析 若m>0，则-m<0，f(m)==-log2m，f(-m)=log2m，由f(m)>f(-m)，得-log2m>log2m，即log2m<0,00，f(-m)=log (-m)=-log2(-m)，f(m)=log2(-m)，由f(m)>f(-m)得log2(-m)>-log2(-m)，解得m<-1.
6.对实数a和b，定义运算“”：ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-x2)，x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________.
答案 (-∞，-2]∪(-1，-)
解析 f(x)=
即f(x)=
f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为
(-∞，-2]∪(-1，-).
7.已知函数f(x)=则f(-3)的值为________.
答案 2
解析 f(-3)=f(-1) 1=f(1) 2=2.
8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________.
答案 -13a2⇔6a 9>3a2，解得-10.
因此x2-x1=[-(2x1 2) 2x2 2]≥
=1.
(当且仅当-(2x1 2)=2x2 2=1，
即x1=-且x2=-时等号成立)
所以，函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时，有x2-x1≥1.
(3)解 当x1x1>0时，
f′(x1)≠f′(x2)，
故x1<00时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为
y-ln x2=(x-x2)，即y=·x ln x2-1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0h(2)=-ln 2-1，所以a>-ln 2-1.
而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，
所以a的取值范围是(-ln 2-1， ∞)，
故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围为(-ln 2-1， ∞).
12.(2013·湖南)已知a>0，函数f(x)=.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式;
(2)是否存在a，使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求a的取值范围;若不存在，请说明理由.
解 (1)当0≤x≤a时，f(x)=;
当x>a时，f(x)=.
因此，
当x∈(0，a)时，f′(x)=<0，f(x)在(0，a)上单调递减;
当x∈(a， ∞)时，f′(x)=>0，f(x)在(a， ∞)上单调递增.
①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)=f(0)=.
②若0
