题型一　不等式组所确定的区域问题

例1　已知点M(x，y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是________.

破题切入点　先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积.

答案　1

解析　作出不等式组

表示的平面区域，

如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S=×2×1=1.

题型二　求解目标函数在可行域中的最值问题

例2　若变量x，y满足约束条件则z=2x y的最大值与最小值的和为________.

破题切入点　先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z=2x y的几何意义，即可求得最大值与最小值.

答案　6

解析

画出可行域，如图所示，由图象，

可得当y=-2x z经过点B(2,0)时，zmax=4;

当y=-2x z经过点A(1,0)时，zmin=2.故填6.

题型三　利用线性规划求解实际应用题

例3　某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元.

破题切入点　设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z=1 600x 2 400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低.

答案　36 800

解析　设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，

所用的总租金为z元，则z=1 600x 2 400y，

其中x，y满足不等式组(x，y∈N)

画出可行域，可知在x=5，y=12时，

可载客36×5 60×12=900(人)，

符合要求且此时的总租金z=1 600×5 2 400×12=36 800，达到最小值.

题型四　简单线性规划与其他知识的综合性问题

例4　设变量x，y满足约束条件则lg(y 1)-lg x的取值范围为________.

破题切入点　先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg ，利用数形结合的方法解t=的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围.

答案　[0,1-2lg 2]

解析　如图所示，作出不等式组确定的可行域.

因为lg(y 1)-lg x

=lg ，设t=，

显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，-1)连线的斜率.

由图，可知点P在点B处时，t取得最小值;

点P在点C处时，t取得最大值.

由解得即B(3,2);

由解得即C(2,4).

故t的最小值为kBE==1，

t的最大值为kCE==，

所以t∈[1，].

又函数y=lg x为(0， ∞)上的增函数，

所以lg t∈[0，lg ]，

即lg(y 1)-lg x的取值范围为[0，lg ].

而lg =lg 5-lg 2=1-2lg 2，

所以lg(y 1)-lg x的取值范围为[0,1-2lg 2].

总结提高　(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础.

(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y=kx，再平移此直线.

(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数;②列出线性约束条件;③建立目标函数;④求出最优解;⑤转化为实际问题.

1.实数x，y满足则不等式组所围成图形的面积为________.

答案　1

解析　实数x，y满足

它表示的可行域如图所示.

不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，

所以所围成图形的面积为×2×1=1.

2.已知O是坐标原点，点A(-1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________.

答案　[0,2]

解析　作出可行域，如图所示，由题意·=-x y.

设z=-x y，作l0：x-y=0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin=-1 1=0;过点(0,2)时z有最大值，zmax=0 2=2，∴·的取值范围是[0,2].

3.若变量x，y满足约束条件且z=2x y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=________.

答案　6

解析　画出可行域，如图阴影部分所示.

由z=2x y，得y=-2x z.

由得

∴A(-1，-1).

由得

∴B(2，-1).

当直线y=-2x z经过点A时，zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线y=-2x z经过点B时，zmax=2×2-1=3=m，故m-n=6.

4.设m>1，在约束条件下，目标函数z=x my的最大值小于2，则m的取值范围为________.

答案　(1,1 )

解析

变形目标函数为y=-x ，由于m>1，所以-1<-<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义，只有直线y=-x 在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值，由得交点A，所以目标函数的最大值是 <2，即m2-2m-1<0，

解得1-0，所以d∈[1，).

6.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0=2，则m的取值范围是________.

答案　(-∞，-)

解析　问题等价于直线x-2y=2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(-m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x-2y=2经过第一、三、四象限，则点(-m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x-2y=2与阴影部分有公共点，则点(-m，m)在直线x-2y-2=0的下方，故-m-2m-2>0，即m<-.

7.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值为________.

答案　3

解析　如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y=x-z在x轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值.由图，可知当y=x-z经过点C时z取得最大值，由解得即C(5,3)，故目标函数的最大值为z=3×5-4×3=3.

8.已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________.

答案　1

解析　依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S△OAD S△OBC最小，又直线x y 2=0与y轴的交点的坐标为A(0，-2)，直线x y 2=0与y=kx的交点的坐标为D(-，-)，直线y=kx与x=1的交点的坐标为C(1，k)，k≥0，

所以S△OAD S△OBC=|OA|·|xD| |OB|·|yC|= ·k= -= -≥2-=，当且仅当=时取等号，即k=1或k=-3(舍去).

所以满足条件的k的值为1.

9.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.

答案　22

解析　设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z=3x 9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，).

当y=-x z经过点C时，目标函数z取得最小值.

所以zmin=3× 9×=22.

因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.

10.设x，y满足约束条件若目标函数z=abx y(a>0，b>0)的最大值为8，则a b的最小值为________.

答案　4

解析　由z=abx y，得y=-abx z，所以直线的斜率为-ab<0，作出可行域，如图，由图象，可知当y=-abx z经过点B时，z取得最大值.

由得

即B(1,4)，代入z=abx y=8，得ab 4=8，即ab=4，所以a b≥2=4，当且仅当a=b=2时取等号，所以a b的最小值为4.

11.给定区域D：令点集T={(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z=x y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.

答案　6

解析　线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条.

12.(2014·盐城模拟)已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________.

答案　2 2

解析　画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|=t，则两直角边长|AB|=|OA|=t，所以=1，求得t==2 2，即tmin=2 2.