一、选择题
1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()
A.30° B.150°
C.30°或150° D.以上均错
2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为()
A. 2B. 1C.2/3 D.1/4
3.如果二面角α—l—β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为()
A.45°或30° B.15°或75°
C.30°或60° D.15°或60°
4.从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60°，则二面角B—PA—C的余弦值是()
A.1/2 B.1/3 C.3 D.1
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()
A.2 B.1/2 C.2/3 D.1
6.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()
A.1 B. 2C. 1/2 D.3
二、填空题
7.若两个平面α，β的法向量分别是n=(1,0,1)，ν=(-1，1,0).则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.
8.如图，
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.
9.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________.
三、解答题
10.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.
11.
在三棱锥S—ABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=4.
(1)证明：SCBC;
(2)求二面角A—BC—S的大小.
能力提升
12.
如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.
13.
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.
(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线;
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-B1的余弦值.
1.[0，]方向向量 φ π-φ
2.[0，π] 法向量 相等或互补
作业设计
1.A
2.D
[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，
N.
∴=，=.
∴·=，||==||.
∴cos〈，〉==.]
3.B [如图(1)，(2)所示，分别是P在二面角α—l—β的内部、外部时的情况.因为PA⊥α，所以PA⊥l，因为PC⊥l，所以l⊥面PAC，同理，l⊥面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，∠ACB是二面角的平面角.
在Rt△APC中，sin∠ACP===，所以∠ACP=30°.在Rt△BPC中，sin∠BCP===，所以∠BCP=45°，故∠ACB=30° 45°=75°(图(1))，或∠ACB=45°-30°=15°(图(2)).]
图(1)图(2)
4.B [在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB、PC于E、F，则∠EOF为所求二面角的平面角.
△EOF中，令EF=1，则由题意可求得，OE=OF=，∴cos∠EOF==.]
5.B
[建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，
则=(1,0,1)，=(1,1，).
设平面A1DE的法向量n1=(x，y，z)，
则解得
令z=1，n1=(-1，，1)
平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1)，
cos〈n1，n2〉==.]
6.B [
建立坐标系如图.
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2).
=(-1,0,2)，=(-1,2,1)，
cos〈，〉==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.]
7.60°
解析 cos〈n，ν〉===-，
〈n，ν〉=120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
8.90°
解析
建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，
M，
B1，
因此=，=，设异面直线AB1与BM所成的角为θ，
则cos θ=|cos〈，〉|==0，
θ=90°.
9.
解析 建立
如图所示的空间直角坐标系，设AB=1.因为A1D平面ABC，ADBC，由AD=，AA1=1知A1D=.
故A1.又A，B，
=，=，
cos〈，〉=.
又CC1∥AA1，cos〈，〉=cos〈，〉.
故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.
10.解 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
E(1,2,2)，F(1,4,1)，
=(-1,4,1)，
=(-1，-2,2)，
||==3，||==3，
·=1-8 2=-5，
cos〈，〉==-.
异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，
则cos θ=|cos〈，〉|=.
11.(1)证明 由已知SAB=SAC=ACB=90°，以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,2,0)，B(4,0,0)，C(0,0,0)，S(0,2,2)，
则=(0，-2，-2)，
=(-4,0,0)，
·=0，SC⊥BC.
(2)解 SAB=SAC=90°，SA⊥平面ABC，
=(0,0,2)是平面ABC的法向量.
设侧面SBC的法向量为n=(x，y，z)，
=(0，-2，-2)，=(-4,0,0).
·n=0，·n=0，
∴x=0.令z=1，则y=-，
则得平面SBC的一个法向量n=(0，-，1)，
cos〈，n〉===，
即二面角A—BC—S的大小为60°.
12.解 如图所示，
设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0，-1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.易知=(，1,0)，
=(0,2，)，=(，，).
设平面ABC1的一个法向量为n=(x，y，z)，则有
解得x=-y，z=-y，
故可取n=(1，-，).
所以cos〈n，〉===.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
13.(1)证明 以B为坐标原点，射线BA、BB1为x轴正半轴、y
轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2，则A(2,0,0)，
B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0).又设C(1,0，c)，则=(，，0)，=(2，-2,0)，=(1，-1，c).
于是·=0，·=0，故DEB1A，DEDC，又DE∩AB1=E，CD∩DE=D.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
(2)解 因为〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角，故·=|B1A||cos 45°，
即2××=4.
解得c=，故=(-1,0，).
又==(0,2,0)，
所以= =(-1,2，).
设平面AA1C1的法向量m=(x，y，z)，
则m·=0，m·=0，
即-x 2y z=0,2y=0.
令x=，则z=1，y=0.
故m=(，0,1).
设平面AB1C1的法向量为n=(p，q，r)，
则n·=0，n·=0，
即-p 2q r=0,2p-2q=0，
令p=，则q=，r=-1.
故n=(，，-1).
所以cos〈m，n〉==.
由于〈m，n〉等于二面角A1-AC1-B1的平面角，
所以二面角A1-AC1-B1的余弦值为.
