一、选择题
1.已知=，则tan α =()
A.-8 B.8
C.1 D.-1
答案：A 解题思路：
=
=cos α-sin α=，
1-2sin αcos α=，即sin αcos α=-.
则tan α = ===-8.故选A.
2.在ABC中，若tan Atan B=tan A tan B 1，则cos C的值为()
A.-1/2 B.1/3
C. 1/2D.-1
答案：B 解题思路：由tan Atan B=tan A tan B 1，可得=-1，即tan(A B)=-1，又因为A B(0，π)，所以A B=，则C=，cos C=.
3.已知曲线y=2sincos与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于()
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案：B 命题立意：本题考查三角恒等变换及向量的坐标运算，难度较小.
解题思路：由于f(x)=2sin2=2×=1 sin 2x，据题意，令1 sin 2x=，解得2x=2kπ-或2x=2kπ-(kZ)，即x=kπ-或x=kπ-(kZ)，故P1，P5，因此||==2π.
4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acos B bcos A=csin C，S=(b2 c2-a2)，则B等于()
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案：C 解题思路：由正弦定理和已知条件知sin Acos B sin Bcos A=sin2C，即sin(A B)=sin2C， sin C=1，C=，从而S=ab=(b2 c2-a2)=(b2 b2)，解得a=b，因此B=45°.
5.已知=k,0<θ<，则sin的值()
A.随着k的增大而增大
B.有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小
C.随着k的增大而减小
D.是一个与k无关的常数
答案：A 解题思路：k==
=2sin θcos θ=sin 2θ，因为0<θ<，所以sin=-=-=-为增函数，所以sin的值随着k的增大而增大.
6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2-cos 2C=，且a b=5，c=，则ABC的面积为()
A.3 B.3
C.-1/2 D.1/2
答案：A 命题立意：本题主要考查余弦定理及三角形面积的求解，意在考查考生对余弦定理的理解和应用能力.
解题思路： 4sin2-cos 2C=，
2[1-cos(A B)]-2cos2C 1=，
2 2cos C-2cos2C 1=，
cos2C-cos C =0，解得cos C=，
故sin C=.根据余弦定理有
cos C==，ab=a2 b2-7，
3ab=a2 b2 2ab-7=(a b)2-7=25-7=18，ab=6，
S=absin C=×6×=.
二、填空题
7.若sin=，则sin 2α=__________.
答案：- 解题思路：sin 2α=-cos=-cos=2sin2-1=2×2-1=-.
8.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边且a=2csin A，c=，ABC的面积为，则a b=________.
答案：5 命题立意：本题考查解三角形的基本知识，包括三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等，考查考生对知识的整合能力.
解题思路：由a=2csin A及正弦定理得==， sin A≠0， sin C=.
ABC是锐角三角形， C=，
S△ABC=ab·sin =，即ab=6， c=，由余弦定理得a2 b2-2abcos =7，即a2 b2-ab=7，解得(a b)2=25，故a b=5.
9.有这样一道题：“在ABC中，已知a=，________，2cos2=(-1)cos B，求角A.”已知该题的答案是A=60°，若横线处的条件为三角形中某一边的长度，则此条件应为________.
答案：c= 解题思路：由2cos2=(-1)cos B得1-cos B=(-1)cos B，即cos B=，所以B=45°，则C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得=，所以c=.
10.已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若1 =，则的最小值为________.
答案：1 解题思路：因为A，B，C为ABC中的角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，又1 ===，
由正弦定理得=，所以1 =，而1 =，所以cos A=，又A为ABC中的内角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2 c2-2bccos A=b2 c2-2bc×≥2bc-bc=bc.(当且仅当b=c时取“=”)所以的最小值为1.
三、解答题
11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，
则CD=10t海里，BD=10t海里.
在ABC中，由余弦定理 ，得
BC2=AB2 AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2 22-2(-1)·2·cos 120°=6，
BC=(海里).
由正弦定理知=，
sin ∠ABC===，
ABC=45°， B点在C点的正东方向上，
CBD=90° 30°=120°.
在BCD中，由正弦定理，得
=，
sin ∠BCD=
==，
BCD=30°， 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，
D=30°，
BD=BC，即10t=，
t=小时≈15分钟.
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A sin B=2sin C，且SABC=，求边c的长.
解析：(1) m·n=sin(A-B) 2cos Asin B
=sin Acos B cos Acos B=sin(A B)，
在ABC中，A B=π-C且0
