一、选择题

1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于()

A.1 B.

C.2 D.3

答案：C　命题立意：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算求解能力.

解题思路：根据已知，a1 2d=6,3a1 3d=12，解得d=2，故选C.

2.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0)，则{an}()

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

答案：C　命题立意：等差数列和等比数列的基本运算是高考经常考查的重点，本题根据数列的前n项和求解通项公式，渗透等差数列和等比数列的定义，体现了基本知识的应用，同时也体现了分类讨论的思想，对能力要求较高，应予以重视.

解题思路： Sn=an-1(a≠0)， an=即an=当a=1时，an=0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列;当a≠1时，数列{an}是一个等比数列，故选C.

3.在数列{an}中，若对任意的n均有an an 1 an 2为定值(nN*)，且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100等于()

A.132 B.299 C.68 D.99

答案：B　解题思路：设an an 1 an 2=x，则an 1 an 2 an 3=x，两式作差得an=an 3，所以数列{an}为周期数列并且周期T=3，a98=a3×32 2=a2，a9=a3×2 3=a3，a7=a1，所以S100=33×S3 a1=299，故选B.

4.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lg an，b3=18，b6=12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于()

A.126 B.130 C.132 D.134

答案：C　解题思路：bn 1-bn=lg an 1-lg an=lg =lg q(常数)，

{bn}为等差数列.

设公差为d， ∴ 由bn=-2n 24≥0，得n≤12， {bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， S11，S12最大且S11=S12=132.

5.在数列{an}中，a1=1，a2=2，若an 2=2an 1-an 2，则an等于()

A.n3-n B.n3-5n2 9n-4

C.n2-2n 2 D.2n2-5n 4

答案：C　命题立意：本题考查等差数列的定义与通项公式、累加法求数列的通项公式，难度中等.

解题思路：依题意得(an 2-an 1)-(an 1-an)=2，因此数列{an 1-an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an 1-an=1 2(n-1)=2n-1.当n≥2时，an=a1 (a2-a1) (a3-a2) … (an-an-1)=1 1 3 … (2n-3)=1 =(n-1)2 1=n2-2n 2.又a1=1=12-2×1 2，因此an=n2-2n 2，故选C.

6.(天津模拟)已知数列{an}满足a1=0，an 1=(nN*)，则a20=()

A.0 B.-1 C1. D.2

答案：B　命题立意：本题主要考查数列的周期性，难度中等.

解题思路：因为数列{an}满足a1=0，an 1=(nN*)，a2=-，a3=，a4=0， T=3，则a20=a2=-，故选B.

二、填空题

7.已知数列{an}中，a1=1，an 1=(-1)n(an 1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013=________.

答案：-1 005　命题立意：本题主要考查递推数列的有关知识，要求考生掌握常见的几类求递推数列的通项与前n项和，首先是与等差(等比)数列相关的递推数列，其次是一阶线性递推数列，还有具有周期性的数列.本题就是一种具有周期性的递推数列.

解题思路：由a1=1，an 1=(-1)n(an 1)可得该数列是周期为4的数列，且a1=1，a2=-2，a3=-1，a4=0.所以S2 013=503(a1 a2 a3 a4) a2 013=503×(-2) 1=-1 005.

8.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a3 a4=11a2a4，且它的前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{an}的通项公式an=________.

答案：102-n　命题立意：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式等知识，考查考生的运算能力.

解题思路：设等比数列{an}的公比为q，前2n项和为S2n，前2n项中偶数项之和为Tn，由题意知q≠1，则S2n=，Tn=.由题意可知S2n=11Tn，即=.解得q=(或令n=1，则S2=11T1，即a1 a2=11a2，化简得a1=10a2，故q=).又a3 a4=11a2a4，所以a1q2 a1q3=11aq4，化简得1 q=11a1q2，将q=代入可得a1=10，故an=a1qn-1==102-n.

9.已知各项都为正数的数列{an}，其前n项的和为Sn，且Sn=( )2(n≥2)，若bn= ，且数列{bn}的前n项的和为Tn，则Tn=________.

答案：　解题思路：-=，则=n，Sn=n2a1，an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1，bn= =2 -，Tn= … =2n 2-=.

10.数列{an}满足a1=3，an-anan 1=1，An表示{an}的前n项之积，则A2 013=________.

答案：-1　命题立意：本题与常考的求等差、等比数列的通项公式或前n项和不同，本题考查给定数列的前n项之积，这就要求考生能根据已知数列，得到数列的性质.求解本题的关键是得到{an}的周期.

解题思路：由a1=3，an-anan 1=1，得an 1=，所以a2==，a3=-，a4=3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=-1，又2 013=3×671，所以A2 013=(-1)671=-1.

三、解答题

11.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1)，数列{bn}满足bn=bn-1-(n≥2)，且b1=3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}满足cn=an·log2(bn 1)，其前n项和为Tn，求Tn.

解析：(1)对于数列{an}有Sn=(an-1)，

Sn-1=(an-1-1)(n≥2)，

由-，得an=(an-an-1)，即an=3an-1，

当n=1时，S1=(a1-1)=a1，解得a1=3，

则an=a1·qn-1=3·3n-1=3n.

对于数列{bn}，有bn=bn-1-(n≥2)，

可得bn 1=bn-1 ，即=.

bn 1=(b1 1)n-1=4n-1=42-n，

即bn=42-n-1.

(2)由(1)可知

cn=an·log2(bn 1)=3n·log2 42-n

=3n·log2 24-2n=3n(4-2n).

Tn=2·31 0·32 (-2)·33 … (4-2n)·3n，

3Tn=2·32 0·33 … (6-2n)·3n (4-2n)·3n 1，

由-，得

-2Tn=2·3 (-2)·32 (-2)·33 … (-2)·3n-(4-2n)·3n 1

=6 (-2)(32 33 … 3n)-(4-2n)·3n 1，

则Tn=-3 (2-n)·3n 1

=- ·3n 1.

12.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1 a4=-，且对于任意的nN 有Sn，Sn 2，Sn 1成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)已知bn=n(nN )，记Tn= … ，若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，求实数m的范围.

解析：(1)设公比为q，

S1，S3，S2成等差数列，

2S3=S1 S2，

2a1(1 q q2)=a1(2 q)，得q=-，

又a1 a4=a1(1 q3)=-，

a1=-， an=a1qn-1=n.

(2)∵ bn=n，an=n，

=n·2n，

Tn=1·2 2·22 3·23 … n·2n，

2Tn=1·22 2·23 3·24 … (n-1)·2n n·2n 1，

①-，得-Tn=2 22 23 … 2n-n·2n 1，

Tn=-=(n-1)·2n 1 2.

若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，

则(n-1)2≤m[(n-1)·2n 1 2-n-1]，

(n-1)2≤m(n-1)·(2n 1-1)，

m≥.

令f(n)=，f(n 1)-f(n)=-=<0，

f(n)为减函数，

f(n)≤f(2)=.

m≥.即m的取值范围是.

13.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1 a3的等比中项，前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn 1(λ为常数，且λ≠1).

(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;

(2)比较 … 与Sn的大小.

解析：(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3 1)，

即2=a1，

解得a1=， an=n.

又即

解得或(舍).λ=.

(2)由(1)知Sn=1-n，

Sn=-n 1≥，

又Tn=4n2 4n，

==，

…

=1- - … -

=<.

由可知， …