一、选择题
1.(2013·桂林模拟)圆锥曲线 =1的一条准线方程为x=4,则m=()
(A)-5 (B)5 (C)-3 (D)3
2.(2013·百色模拟)如果椭圆的左焦点到左准线的距离等于长半轴的长,则其离心率为()
(A) (B) (C)2 (D)
3.已知圆(x 2)2 y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)抛物线
4.(2013·柳州模拟)椭圆 =1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则
∠F1PF2的大小为()
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
5.已知F1,F2分别是椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足 =0(O为坐标原点),·=0,若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是()
(A)y=x (B)y=-x
(C)y=-x (D)y=x
6.(能力挑战题)已知点P是椭圆16x2 25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是()
(A)24 (B)12 (C)6 (D)3
二、填空题
7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.
8.设F1,F2分别是椭圆 =1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为.
9.分别过椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.
三、解答题
10.(2013·来宾模拟)已知F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,M是椭圆上的点,且MF1⊥MF2.
(1)求△MF1F2的周长.
(2)求点M的坐标.
11.(2013·重庆模拟)椭圆C: =1(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,且过点A(2, 1).
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l:x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M,N,求|MN|的值.
12.(能力挑战题)已知N(,0),P是圆M:(x )2 y2=36(M为圆心)上一动点,线段PN的垂直平分线l交PM于Q点.
(1)求点Q的轨迹C的方程.
(2)若直线y=x m与曲线C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.x==4,则有a2=4c.
若04,则该曲线表示焦点在y轴的椭圆,不合题意,舍去.
若m|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.【解析】选C.椭圆 =1,a2=9,a=3,b2=2,c2=a2-b2=7,所以c=,因为|PF1|=4,|PF1| |PF2|=2a=6,所以|PF2|=6-4=2,所以cos∠F1PF2==
=-,
所以∠F1PF2=120°.
5.【思路点拨】由 =0知,A,B两点关于原点对称,设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1),因为 =0,所以
B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1),=(2c,0),
又因为·=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,即x1=c,代入椭圆方程得y1=,因为离心率e=,所以,a=c,b=c,A(c,),所以直线AB的方程是y=x.
6.【解析】选C.由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2 25y2=400,整理得76x2-450x 650=0,解得:x=或x=(因为xb>0).
∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,
所以椭圆方程为 =1.
答案: =1
8.【解析】因为|OM|=3,数形结合得|PF2|=6,
又|PF1| |PF2|=10,
∴|PF1|=4.
答案:4
9.【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2 y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c20,
得-b>0)上的任意一点到它两个焦点(-c,0),(c,0)的距离之和为2,且它的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知直线x-y m=0与椭圆C交于不同两点A,B,且线段AB的中点M不在圆x2 y2=内,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题,椭圆C: =1(a>b>0)中,⇒
故椭圆C的方程为 y2=1.
(2)联立方程⇒3x2 4mx 2m2-2=0,
则Δ=16m2-12(2m2-2)=8(-m2 3)>0⇒-
