一、非标准

1.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()

A.相交 B.异面

C.平行 D.垂直

2.(2014广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()

A.l1l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

3.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()

A.1 B.2

C.3 D.4

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF, CD都相交的直线()

A.不存在 B.有且只有两条

C.有且只有三条 D.有无数条

5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()

A.(0,) B.(0,) C.(1,) D.(1,)

6.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:

若ab,b⊥c,则ac;

②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;

若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;

若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.

其中真命题的个数是　.

7.正方体的底面与正四面体的底面在同一个平面α上,且ABCD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)求A1C1与B1C所成角的大小;

(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.

9.

(2014课标全国,文18)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明:PB平面AEC;

(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.

10.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作()

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

11.

在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()

A. B.

C. D.

12.

某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面的对角线,则在正方体中,l1与l2()

A.互相平行

B.异面且互相垂直

C.异面且夹角为

D.相交且夹角为

13.

点A是平面BCD外一点,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为　.

14.(2014陕西,文17)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

(1)求四面体ABCD的体积;

(2)证明:四边形EFGH是矩形.

15.

在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD 是边长为2的正方形,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.

(1)求四棱锥O-ABCD的体积;

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.

一、非标准

1.A　解析:直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.

2.D　解析:正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1l4,故B错误,则C也错误,故选D.

3.B　解析:有2条:A1B和A1C1.

4.D　解析:(方法一)在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面(如图1),这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.故选D.

(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α(如图2),

因为CD与平面α不平行,所以它们相交,

设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.

由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.

5.A　解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.

6.0　解析:a⊥b,b⊥c,∴a与c可以相交、平行、异面,故错.

a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故错

由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故错.

同理错,故真命题的个数为0.

7.4　解析:取CD的中点为G,由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.

8.解:(1)连接AC,AB1,

由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知四边形AA1C1C为平行四边形,

所以ACA1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.

在AB1C中,由AB1=AC=B1C可知B1CA=60°,

即A1C1与B1C所成的角为60°.

(2)连接BD,由(1)知ACA1C1.

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.

EF是ABD的中位线,

EF∥BD.

又AC⊥BD,

∴AC⊥EF,即所求角为90°.

EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.

9.(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.

因为ABCD为矩形,

所以O为BD的中点.

又E为PD的中点,

所以EOPB.

EO⊂平面AEC,PB平面AEC,

所以PB平面AEC.

(2)解:V=PA·AB·AD=AB,

由V=,可得AB=.

作AHPB交PB于H,

由题设知BC平面PAB,

所以BCAH.

故AH平面PBC.

又AH=.

所以A到平面PBC的距离为.

10.D　解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等.

BB1∥AA1,BC∥AD,

∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.

同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.

11.D　解析:连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.

连接A1C1,设AB=1,则AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=,

故cosA1BC1=.

12.D　解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.

故l1与l2相交,

连接AD,则ABD为正三角形,

所以l1与l2的夹角为.故选D.

13.90°　解析:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.

因为E,F分别是AB,CD的中点,

故EGBC且EG=BC=1,FGAD,且FG=AD=1

即EGF为所求.

又EF=,由勾股定理的逆定理可得EGF=90°.

14.(1)解:由该四面体的三视图可知,

BDDC,BD⊥AD,AD⊥DC,

BD=DC=2,AD=1,

∴AD⊥平面BDC.

四面体体积

V=×2×2×1=.

(2)证明:BC∥平面EFGH,

平面EFGH平面BDC=FG,

平面EFGH平面ABC=EH,

BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.

同理EFAD,HG∥AD,

∴EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

又AD⊥平面BDC,

AD⊥BC.∴EF⊥FG.

∴四边形EFGH是矩形.

15.解:(1)由已知得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.

(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,

则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角).

OA⊥底面ABCD,

OA⊥AD,OA⊥AC,

∴MD=.

∵四边形ABCD为正方形,

AE=ED=AC=,

∵ME=.

∵()2 ()2=()2,

∴△DEM为直角三角形.

tan∠EMD=.