一、非标准
1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()
A.(x-2)2 (y 3)2=13 B.( x 2)2 (y-3)2=13
C.(x-2)2 (y 3)2=52 D.(x 2)2 (y-3)2=52
2.过点(3,1)作圆(x-1)2 y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()
A.2x y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x y-3=0
3.实数x,y满足(x 5)2 (y-12)2=122,则x2 y2的最小值为()
A.2 B.1 C. D.
4.(2014四川成都外国语学校2月)已知圆C1:(x 1)2 (y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()
A.(x 2)2 (y-2)2=1 B.(x-2)2 (y 2)2=1
C.(x 2)2 (y 2)2=1 D.(x-2)2 (y-2)2=1
5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x y=0上,则圆C的方程为()
A.(x 1)2 (y-1)2=2 B.(x-1)2 (y 1)2=2
C.(x-1)2 (y-1)2=2 D.(x 1)2 (y 1)2=2
6.设A为圆(x-1)2 y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程是()
A.(x-1)2 y2=4 B.(x-1)2 y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
7.已知点P是圆C:x2 y2 4x-6y-3=0上的一点,直线l:3x-4y-5=0.若点P到直线l的距离为2,则符合题意的点P有 .
8.设圆C同时满足三个条件:过原点;圆心在直线y=x上;截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是 .
9.根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x y-1=0相切于点P(3,-2).
10.已知定点O(0,0),A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是,求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线.
11.方程x(x2 y2-1)=0和x2 (x2 y2-4)2=0表示的图形()
A.都是两个点
B.都是一条直线和一个圆
C.前者表示两个点,后者是一条直线和一个圆
D.前者是一条直线和一个圆,后者表示两个点
12.若直线l过点P且被圆x2 y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()
A.3x 4y 15=0 B.x=-3或y=-
C.x=-3 D.x=-3或3x 4y 15=0
13.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的轨迹方程为 .
14.(2014苏、锡、常、镇四市调查(一))在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2 y2-2mx-4y m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若ABC的面积的最大值为16,试求m的取值范围.
15.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标;
(2)求圆x2-6x y2 2y=0关于直线OB对称的圆的方程.
一、非标准1.A 解析:设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),
则A(2,-3)是线段PQ的中点,
所以P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=.
故圆的方程为(x-2)2 (y 3)2=13.
2.A 解析:如图,圆心坐标为C(1,0),由半径为1,且P(3,1),可知A(1,1).
又kAB·kPC=-1,且kPC=,kAB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x y-3=0,故选A.
3.B 解析:设P(x,y),则点P在圆(x 5)2 (y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2 y2=[]2=|OP|2,
又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2 y2的最小值为1.
4.B 解析:C1:(x 1)2 (y-1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y-1=0对称的点为(2,-2),所以圆C2的方程为(x-2)2 (y 2)2=1.
5.B 解析:设圆心坐标为(a,-a),则,
即|a|=|a-2|,解得a=1,
则圆心坐标为(1,-1),半径r=,故圆的方程为(x-1)2 (y 1)2=2
6.B 解析:作图可知圆心(1,0)到P点距离为,所以P在以(1,0)为圆心,以为半径长的圆上,其轨迹方程为(x-1)2 y2=2.
7.2个 解析:由题意知圆的标准方程为(x 2)2 (y-3)2=42,
则圆心(-2,3)到直线l的距离d=>4,
因此直线与圆相离,故满足题意的点P有2个.
8.(x 2)2 (y 2)2=8或(x-2)2 (y-2)2=8 解析:由题意可设圆心A(a,a),
如图,则22 22=2a2,
解得a=±2,r2=2a2=8.
所以圆C的方程是(x 2)2 (y 2)2=8或(x-2)2 (y-2)2=8.
9.解:(1)设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F=0,
将P,Q两点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2 Dx F=0.
设x1,x2是方程的两根,
由|x1-x2|=6有D2-4F=36,
由,②,④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为x2 y2-2x-4y-8=0或x2 y2-6x-8y=0.
(2)(方法一)如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2 (y 4)2=8.
(方法二)设所求方程为(x-x0)2 (y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x-1)2 (y 4)2=8.
10.解:设动点P的坐标为(x,y),
则由|PO|=|PA|,
得λ(x2 y2)=( x-3)2 y2,
整理,得(λ-1)x2 (λ-1)y2 6x-9=0.
因为λ>0,所以当λ=1时,则方程可化为2x-3=0,
故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线.
当λ≠1时,则方程可化为 y2=,即方程表示的曲线是以为圆心,为半径的圆.
11.D 解析:x(x2 y2-1)=0等价于x=0或x2 y2=1,表示一条直线和单位圆;而x2 (x2 y2-4)2=0,等价于x=0,且x2 y2=4,即(0,2)和(0,-2)两个点.
12.D 解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y =k(x 3),即kx-y 3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线方程为3x 4y 15=0.
13.x2 y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1) 解析:设点C(x,y),则依题意可得,=0.
又=(-1-x,-y),
=(3-x,-y),
(-1-x)(3-x) y2=0,
整理得x2 y2-2x-3=0.
由于三点A,B,C要构成三角形,则点C要不同于点A和B.
因此直角顶点C的轨迹方程为x2 y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).
14.解:由题意得圆心C(m,2),半径r=4.
因为点P(3,0)在圆C:x2 y2-2mx-4y m2-28=0内,
所以32 0-6m-0 m2-28
