【典例2】　(2014·课标全国卷)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x 6=0的根.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

[解]　(1)方程x2-5x 6=0的两根为2,3，

由题意得a2=2，a4=3.

设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，

从而a1=.

所以{an}的通项公式为an=n 1.

(2)设的前n项和为Sn.由(1)知=，则

Sn= … ，

Sn= … .

两式相减得

Sn= -

= -.

所以Sn=2-.

     【变式训练2】　(2013·山东高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an 1.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足 … =1-，nN*，求{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由S4=4S2，a2n=2an 1，得

解得

因此an=2n-1，nN*.

(2)由已知 … =1-，nN*，

当n=1时，=;

当n≥2时，=1--=.

所以=，nN*.

由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*.

所以Tn= … ，

Tn= … .

两式相减，得Tn= -

=--，

所以Tn=3-.

     【典例3】　(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S-(n2 n-1)Sn-(n2 n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn<.

[思路点拨]　(1)根据已知条件构造等价的关系式结合Sn与an的关系求解;(2)由(1)的结论先求出数列{bn}的通项公式，根据裂项求和法求出其前n项和，通过放缩法证明不等式.

[解]　(1)由S-(n2 n-1)Sn-(n2 n)=0，

得[Sn-(n2 n)](Sn 1)=0.

由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn=n2 n.

于是a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2 n-(n-1)2-(n-1)=2n.

综上可知，数列{an}的通项an=2n.

(2)证明：由于an=2n，bn=，

则bn==.

Tn=1- - - … - -

=1 --<=.