[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2014·广东高考改编)若变量x，y满足约束条件，则z=2x y的最大值等于________.
[解析] 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y=-2x z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.
[答案] 10
2.(2014·扬州调研)已知x，y满足约束条件则z=3x 4y的最小值是________.
[解析] 可行区域如图所示.
在P处取到最小值-17.5.
[答案] -17.5
3.已知实数x，y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a=________.
[解析] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z=y-ax必平行于直线y-x 1=0，于是有a=1.
[答案] 1
4.(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________.
[解析] 线性约束条件表示的平面区域如图所示(阴影部分).
由
得A(3，-1).
当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM=-.
[答案] -
5.(2013·陕西高考改编)若点(x，y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内，则2x-y的最小值是________.
[解析] 曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图阴影部分所示.
当直线l：y=2x向左平移时，(2x-y)的值在逐渐变小，当l通过点A(-2,2)时，(2x-y)min=-6.
[答案] -6
6.已知点P(x，y)满足定点为A(2,0)，则||sinAOP(O为坐标原点)的最大值为________.
[解析] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x正半轴上，所以||·sinAOP即为P点纵坐标.
当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.
[答案]
7.(2014·兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，若点P(x，y)S，则z=2x y的最大值为________.
[解析] 由约束条件可作图如下，得S=×a×2a=a2，则a2=4，a=2，故图中点C(2,2)，平移直线得当过点C(2,2)时zmax=2×2 2=6.
[答案] 6
8.(2014·江西高考)x，yR，若|x| |y| |x-1| |y-1|≤2，则x y的取值范围为________.
[解析] 由绝对值的几何意义知，|x| |x-1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x| |x-1|≥1，当且仅当x[0,1]时取“=”.
同理|y| |y-1|≥1，当且仅当y[0,1]时取“=”.
|x| |y| |x-1| |y-1|≥2.
而|x| |y| |x-1| |y-1|≤2，
|x| |y| |x-1| |y-1|=2，
此时，x[0,1]，y[0,1]，(x y)[0,2].
[答案] [0,2]
二、解答题
9.(2012·四川高考改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.
[解] 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则
且z=300x 400y.
作出可行域，如图阴影部分所示.
作直线300x 400y=0，向右上平移，过点A时，
z=300x 400y取最大值，
由得A(4,4)，
zmax=300×4 400×4=2 800.
故公司共可获得的最大利润为2 800元.
10.(2012·安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件
(1)求z=x-y的最小值和最大值;
(2)若z=，求z的取值范围.
[解] 作约束条件
满足的可行域，如图所示为ABC及其内部.
联立得A(1,1).
解方程组得点B(0,3).
(1)由z=x-y，得y=x-z.
平移直线x-y=0，则当其过点B(0,3)时，截距-z最大，即z最小;当过点A(1,1)时，截距-z最小，即z最大.
zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0.
(2)过O(0,0)作直线x 2y=3的垂线l交于点N.
观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小.
又|ON|==，|OB|=3.
z的取值范围是.
[B级 能力提升练]一、填空题
1.(2014·山东高考改编)已知x，y满足约束条件当目标函数z=ax by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2 b2的最小值为________________________________________________________________________.
[解析]
法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示.由解得所以z=ax by在A(2,1)处取得最小值，故2a b=2，
a2 b2=a2 (2-2a)2=(a-4)2 4≥4.
法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x-y-1=0与2x-y-3=0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a b=2.又因为a2 b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2a b-2=0的距离时最小，所以的最小值是=2，所以a2 b2的最小值是4.
[答案] 4
2.(2013·江苏高考)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x 2y的取值范围是________.
[解析] 由于y′=2x，
所以抛物线在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.
画出可行域(如图).
设x 2y=z，则y=-x z.
当直线y=-x z经过点A，B(0，-1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax=，最小值zmin=-2.
故取值范围是.
[答案]
二、解答题
3.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
[解] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元.
由题意知z=2.5x 4y，且x，y满足
即
作出约束条件表示的可行域(如图所示).
由得
让目标函数表示的直线2.5x 4y=z在可行域上平移，由此可知z=2.5x 4y在B(4,3)处取得最小值.
所以最优解为x=4，y=3.
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.
