[A级　基础达标练]

一、填空题

1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).

[解析]　=(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，

设=x y，即(9,14,16)=(3x y,4x 2y,5x 2y)，得x=2，y=3.

[答案]　共面

2.(2014·济南调研)在下列命题中：

若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;

若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;

若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;

已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z得p=xa yb zc.

其中不正确的命题是________(填序号).

[解析]　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa yb zc，故不正确.

[答案]

3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)

[解析]　=-=( )-

=b c-a.

[答案]　b c-a

4.(2012·上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)

(a b)·c=a·c b·c;(a b) c=a (b c);m(a b)=ma nb;(a·b)·c=a·(b·c).

[解析]　(a·b)·c=|a|·|b|cos θ·c，a·(b·c)=|b|·|c|cos α·a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.

[答案]　(4)

5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2 λ，则λ=________.

[解析]　根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x y z，且x y z=1，所以2 λ=1，λ=-.

[答案]　-

6.若向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于________.

[解析]　由已知得==，

解得λ=-2或λ=.

[答案]　-2或

7.(2014·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________.

[解析]　点Q在直线OP上，设点Q(λ，λ，2λ)，

则=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=(2-λ，1-λ，2-2λ)，

·=(1-λ)(2-λ) (2-λ)(1-λ) (3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ 10=62-.

当λ=时，·取得最小值-.

此时=.

[答案]

图7­5­6

8.如图7­5­6所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.

[解析]　设=a，=b，=c，

由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，

·=a·(c-b)=a·c-a·b

=|a||c|-|a||b|=0，即〈·〉=，

所以cos〈，〉=0.

[答案]　0

二、解答题

9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，

(1)求以，为边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.

[解]　(1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，

cos〈，〉===，

sin〈，〉=，

以，为边的平行四边形的面积为

S=2×||·||·sin〈，〉=14×=7.

(2)设a=(x，y，z)，由题意得

解得或

向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).

图7­5­7

10.(2014·张家港调研)如图7­5­7，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为BC1D的重心，

(1)试证：A1，G，C三点共线;

(2)试证：A1C平面BC1D.

[证明]　(1)= = ，

可以证明：=( )=，

∥，即A1，G，C三点共线.

(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，

且a·b=b·c=c·a=0，

=a b c，=c-a，

·=(a b c)·(c-a)=c2-a2=0，

因此，即CA1BC1，

同理CA1BD，

又BD∩BC1=B，

A1C⊥平面BC1D.

[B级　能力提升练]

一、填空题

1.如图7­5­8所示，在ABCD中，AD=4，CD=3，ADC=60°，PA平面ABCD，PA=6，则线段PC的长为________.

图7­5­8

[解析]　= ，

||2=( )2=||2 ||2 ||2 2· 2· 2·

=62 42 32 2||||cos|120°=49.

||=7，即PC=7.

[答案]　7

图7­5­9

2.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若=x y z，则(x，y，z)为________.

[解析]　==( )= ×

= [(-) (-)]

= ，

而=x y z，x=，y=，z=.

[答案]

二、解答题

图7­5­10

3.(2014·南京调研)如图7­5­10，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC=BC=AA′，ACB=90°，D，E分别为AB，BB′的中点.

(1)求证：CEA′D;

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

[解]　(1)证明：设=a，=b，=c，

根据题意，|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0，

=b c，=-c b-a，

·=-c2 b2=0.

⊥，即CEA′D.

(2)=-a c，=b c，

||=|a|，||=|a|.

·=(-a c)·=c2=|a|2，

cos〈，〉==.

故异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.