[A级　基础达标练]

一、填空题

1.给出下列四个命题：

(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直;

(2)若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直;

(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在直线;

(4)若直线垂直于梯形两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在直线.

其中正确的命题共有________个.

[解析]　(1)中没有指明是两条相交直线，故错;(2)能根据平面的垂线定义知正确;(3)中梯形的两腰所在直线必相交，故正确;(4)中梯形两底边所在的直线为平行直线，故错.

[答案]　2

2.(2013·广东高考改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是______(填序号).

若αβ，mα，nβ，则mn;

若αβ，mα，nβ，则mn;

若mn，mα，nβ，则αβ;

若mα，mn，nβ，则αβ.

[解析]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故错误.

平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故错误.

ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故错误.由线面垂直性质及面面垂直的判定，正确.

[答案]

3.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是________.(填写正确命题的序号)

平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;

平面PAB平面PCD;平面PAB平面PAC.

[解析]　BC⊥平面PAB，平面PBC平面PAB，

正确，同理AD平面PAB，

平面PAD平面PAB，正确.

[答案]

4.(2014·辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是________(填序号)

若mα，nα，则mn;

若mα，nα，则mn;

若mα，mn，则nα;

若mα，mn，则nα.

[解析]　中m和n可以平行，相交异面，故错;中由线面垂直的性质知正确;中，n可以在平面内，故错;中，n可以和这个平面平行，相交，也可以在平面内，故错.

[答案]

5.(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是________(填序号)

若mα，nα，则mn;

若mα，mβ，则αβ;

若mα，mα，则nα;

若mα，αβ，则mβ.

[解析]　中的m，n可以相交也可异面故错;中α和β可以相交故错;中的m与β可以平行，相交，也可在β内，故错.

[答案]

6.P为ABC所在平面外一点，AC=a，PAB，PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________.

[解析]　如图所示，PA=PB=PC=AB=BC=a，

取AC中点D，连结PD、BD，

则PDAC，BDAC.

又AC=a，PD=BD=a，

在PBD中，PB2=BD2 PD2，

PDB=90°，PD⊥BD，PD⊥平面ABC.

又PD平面PAC，

平面PAC平面ABC.

[答案]　垂直

图7­4­10

7.如图7­4­10所示，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

[解析]　由定理可知，BDPC.

∴当DMPC时，即有PC平面MBD，

而PC平面PCD.

平面MBD平面PCD.

[答案]　DMPC(答案不唯一)

8.如图7­4­11，已知正四面体ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE，则CE与底面BCD所成角的正弦值为________.

图7­4­11

[解析]　分别过点A，E作AO平面BCD，EH平面BCD，由题意知，O、H、D共线，连结CH，则ECH即为CE与底面BCD所成的角，OD=a×=a，AO==a，EH=AO=a，CE=a，

所以sinECH==.

[答案]

二、解答题

9.如图7­4­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC1=4AF.

图7­4­12

(1)求证：平面ADF平面BCC1B1;

(2)求证：EF平面ABB1A1.

[解]　(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD.

又AB=AC，D为BC的中点，所以ADBC.

因为BC∩CC1=C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，

又AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1.

(2)连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.

因为AC1=4AF，AA1CC1，所以CF=3FG.

因为D为BC的中点，E为BD的中点，

所以CE=3EB，所以EFGB.

又EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1，

所以EF平面ABB1A1.

10.(2014·江苏高考)如图7­4­13，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.

图7­4­13

求证：(1)直线PA平面DEF;

(2)平面BDE平面ABC.

[证明]　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.

又因为PA平面DEF，DE平面DEF，

所以直线PA平面DEF.

(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DEPA，DE=PA=3，EF=BC=4.

又因为DF=5，故DF2=DE2 EF2，

所以DEF=90°，即DEEF.

又PAAC，DEPA，所以DEAC.

因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，

所以DE平面ABC.

又DE平面BDE，

所以平面BDE平面ABC.

[B级　能力提升练]

一、填空题

1.在正面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)

BC∥平面PDF;DF⊥平面PAE;平面PDF平面ABC;平面PAE平面ABC.

[解析]　由BCDF知正确;由DFBC且BCAE，BCPE知正确;由BC面PAE知正确.

[答案]

2.如图7­4­14所示，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45°，BAD=90°.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A­BCD.则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是________(填序号).

图7­4­14

AD⊥平面BCD;AB⊥平面BCD;

平面BCD平面ABC;平面ADC平面ABC.

[解析]　在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45°，BAD=90°，

BD⊥CD，

又平面ABD平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，

CD⊥平面ABD，CD⊥AB，

又ADAB，故AB平面ADC，

从而平面ABC平面ADC.

[答案]

二、解答题

3.(2014·徐州高考信息卷)如图7­4­15，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60°.平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上.

图7­4­15

(1)求证：BC平面ACEF;

(2)当FM为何值时，AM平面BDE?证明你的结论.

[解]　(1)由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=2a，AC=a，

所以ACBC，

又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，

所以BC平面ACEF.

(2)当FM=a，AM平面BDE.

在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连结EN，则CNNA=12，

因为FM=a，EF=AC=a，

所以EM=AN，又EMAN，

所以四边形EMAN为平行四边形，

所以AMNE，

又NE平面BDE，AM平面BDE，

所以AM平面BDE.