[A级 基础达标练]
一、填空题
1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.
[解析] 设圆心C(a，b)(a>0，b>0)，由题意得b=1.
又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，
解得a=2或a=-(舍).
所以该圆的标准方程为(x-2)2 (y-1)2=1.
[答案] (x-2)2 (y-1)2=1
2.(2014·南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2 y2 ax-2y b=0上，点P关于直线x y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.
[解析] 因为点P关于直线x y-1=0的对称点也在圆上，
该直线过圆心，即圆心满足方程x y-1=0，
因此- 1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1).
[答案] (0,1)
3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.
[解析] 过切点且与x y-1=0垂直的直线为y 2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).
半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2 (y 4)2=8.
[答案] (x-1)2 (y 4)2=8
4.(2014·江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2 y2-4x 6y 12=0，则|2x-y|的最小值为________.
[解析] x2 y2-4x 6y 12=0配方得(x-2)2 (y 3)2=1，令x=2 cos α，
y=-3 sin α，则|2x-y|=|4 2cos α 3-sin α|
=|7-sin (α-φ)|≥7-(tan φ=2).
[答案] 7-
5.已知圆x2 y2 4x-8y 1=0关于直线2ax-by 8=0(a>0，b>0)对称，则 的最小值是________.
[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by 8=0必过圆心(-2,4)，所以a b=2.所以 = = 5≥2 5=9，由=，则a2=4b2，又由a b=2，故当且仅当a=，b=时取等号.
[答案] 9
6.(2014·南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 (y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.
[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，
而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x y-3=0.
[答案] x y-3=0
7.(2014·泰州质检)若a，且方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a-1=0表示圆，则a=________.
[解析] 要使方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a-1=0表示圆，则a2 (2a)2-4(2a2 a-1)>0，解得-20)关于直线x y 2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值.
[解] (1)设圆心C(a，b)，
由题意得解得
则圆C的方程为x2 y2=r2，
将点P的坐标代入得r2=2，
故圆C的方程为x2 y2=2.
(2)设Q(x，y)，则x2 y2=2，
·=(x-1，y-1)·(x 2，y 2)
=x2 y2 x y-4=x y-2.
令x=cos θ，y=sin θ，
·=x y-2=(sin θ cos θ)-2
=2sin-2，
所以·的最小值为-4.
10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).
(1)求圆的方程;
(2)若直线l1：x-y b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;
(3)求直线l2：x-y 2=0被此圆截得的弦长.
[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，所以圆的方程为x2 y2=4.
(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=±4.
(3)l2与圆x2 y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2=2.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·南通模拟)在圆x2 y2-2x-6y=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.
[解析] 圆的标准方程为(x-1)2 (y-3)2=10，则圆心(1,3)，半径r=，
由题意知ACBD，且|AC|=2，|BD|=2=2，
所以四边形ABCD的面积为S=|AC|·|BD|
=×2×2=10.
[答案] 10
2.(2014·江苏省连云港市高三第二次调研考试数学试题)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2 y2-2mx-4y m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________.
[解析] 圆C的标准方程为(x-m)2 (y-2)2=32，首先由点P在圆内，则(3-m)2 (0-2)2<32，解得3-2，圆C与直线y=-2x 4不相交，所以t=-2不符合题意，舍去.
故圆C的方程为(x-2)2 (y-1)2=5.
