【变式训练3】 (2014·泰州中学检测)给定圆P：x2 y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.
[解] 圆P的方程为(x-1)2 y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky 1，代入抛物线方程得：y2=4ky 4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有
则(y1-y2)2=(y1 y2)2-4y1y2=16(k2 1).
故|AD|2=(y1-y2)2 (x1-x2)2=(y1-y2)2 2
=(y1-y2)2=16(k2 1)2，
因此|AD|=4(k2 1).
根据等差数列性质得2|BC|=|AB| |CD|=|AD|-|BC|，
|AD|=3|BC|=6，即4(k2 1)=6，k=±，
即l方程为x-y-=0或x y-=0.
2.(2014·苏州调研)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC经过原点O.
【常规证法】 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，显然直线AB的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，
A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.
当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px得k2x2-(k2 2)px =0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，
·=，
(y1y2)2=p4，由题意知y1y2<0，y1y2=-p2
kOC======kOA
直线AC过原点O，
综上，直线AC经过原点O.
【巧妙证法】 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my .代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.
因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，
故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
3.(2014·南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p>0)上位于x轴两侧的两点.
(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;
(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.
[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my t.代入y2=2px得y2=2p·(my t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB恒过定点(1,0).
(2)因为AOB为钝角，所以·<0，即x1x2 y1y2<0.y=2px1，y=2px2，yy=2px1·2px2，于是x1x2===t2，故x1x2 y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t<0，得00)
把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p×(-2).
解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.
当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p>0)，
把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p×(-4).
解得p=.抛物线方程为x2=-y.
综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.
[答案] y2=-8x或x2=-y
4.(2013·广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.
[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用“设而不求”策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF|·|BF|转化为关于x′(或y′)的函数，再求最值.
[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c>0)，
由点到直线的距离公式，得=，
解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y′=x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，
切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，
即y=x- y1，即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，
所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，
所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1 1，|BF|=y2 1，
所以|AF|·|BF|=(y1 1)(y2 1)=y1y2 (y1 y2) 1.
由消去x并整理得到关于y的方程为y2 (2y0-x)y y=0.
由一元二次方程根与系数的关系得
y1 y2=x-2y0，y1y2=y.
所以|AF|·|BF|=y1y2 (y1 y2) 1
=y x-2y0 1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，
即x0=y0 2，
所以y x-2y0 1=2y 2y0 5=22 ，
所以当y0=-时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
