简单古典概型的概率

【典例1】　(1)(2014·课标全国卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

(2)(2014·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________.

[解析]　(1)两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则Ω={(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}.于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为=.

(2)记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，所以P(A)==.

[答案]　(1)　(2),【规律方法】

1.计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n;(2)求出事件A所包含的基本事件个数m;(3)代入公式求出概率P.

2.(1)用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

【变式训练1】　(1)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________.

(2)(2014·常州调研)已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________.

[解析]　(1)这10个数分别为1，-3,9，-27,81，…，(-3)8，(-3)9，小于8的数有6个，所以P(小于8)==.

(2)所取5瓶饮料中不含果汁类饮料的概率为=，从而至少有一瓶果汁类饮料概率为1-=.

[答案]　(1)　(2)考向2　复杂古典概型的概率(高频考点)

命题视角　古典概型是高考考查的重点内容，常见命题角度有：

(1)求多个条件下事件发生的概率;

(2)比较事件发生的概率大小.

【典例2】　(1)(2014·湖北高考改编)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则p1，p2，p3的大小关系为________.

(2)(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)

用表中字母列举出所有可能的结果;

设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.

[思路点拨]　(1)列出点数之和，根据p=计算.

(2)列举出从6个不同元素中选出2个的所有可能结果，找出事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”对应的基本事件，由古典概型的概率公式求解.

[解析]　(1)在表格中表示出两枚骰子向上的点数的所有可能情况如下：

2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 则p1=，p2=，p3=，故p10就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.

(1)写出数量积X的所有可能取值;

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

【错解】　(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

(2)数量积为-1的有·，·，·，·共4种;

数量积为0的有·，·共2种.

数量积为1的有·，·，·，·共4种.

故所有可能的情况共有10种.

所以小波去下棋的概率为P1==.

去唱歌的概率为P2==.

不去唱歌的概率为P=1-P2=1-=.

[A级　基础达标练]

一、填空题

1.(2014·盐城模拟)袋中装有2个红球和2个白球，这四个小球除颜色外其余均相同.现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为________.

[解析]　任意摸出2个小球的情况有(红1，红2)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(白1，白2)共6种情况，其中两球颜色不同的有(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)共4种情况.

所以所求概率P==.

[答案]

2.(2014·课标全国卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.

[解析]　甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种.

而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种.

所以所求概率P==.

[答案]

3.(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________.

[解析]　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为=.

[答案]

4.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________.

[解析]　(1)当个位为奇数时，有5×4=20(个)符合条件的两位数.

(2)当个位为偶数时，有5×5=25(个)符合条件的两位数.

因此共有20 25=45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，

所以所求概率为P==.

[答案]

5.一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x y=8上的概率为________.

[解析]　依题意，以(x，y)为坐标的点共6×6=36个，

其中落在直线2x y=8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P==.

[答案]

6.(2014·扬州调研)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________.

[解析]　五个球中任取两个，有10种方法，其中两数之和为3或6的情形有3种：1和2,1和5,2和4，其概率为.

[答案]

7.(2014·陕西高考改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________.

[解析]　取两个点的所有情况为C=10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为=.

【答案】

8.(2014·无锡调研)甲、乙两人玩数学游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b{3,4,5,6}，若|a-b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________.

[解析]　a，b各自选择方案有4种，共4×4=16种，其中|a-b|≤1的有：(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共10种，从而甲、乙二人“心有灵犀”的概率大小为P==.

[答案]

二、解答题

9.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率;

(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率.

[解]　(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n=C×C=9种选法.

记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m=C·1 C·1=4，

P(A)==.

(2)从报名的6人中任选2名，有n=C=15种选法.

记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m=2C=6.

选出2名教师来自同一学校的概率P(B)==.

10.(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.

(1)求an和bn;

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

[解]　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得S10=10 d=55，b4=q3=8，

解得d=1，q=2，

所以an=n，bn=2n-1.

(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4).

符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2).

故所求的概率P=.

[B级　能力提升练]

一、填空题

1.(2014·南京模拟)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a-2b 4