【变式训练1】 (1)(2014·镇江调研)设函数f(x)=log2x，则在区间(0,5)上随机取一个数x，f(x)<2的概率为________.
(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.
[解析] (1)由log2x<2，从而02S2的概率是________.
[解析] 由S1>2S2，AP>2PB，即S1>2S2的概率为.
[答案]
2.设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径倍的概率是________.
[解析] 如图所示，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|>R，∴P=.
[答案]
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________.
[解析] 如图，要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.
故所求概率为P==.
[答案]
4.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x cos x≤1”发生的概率为________.
[解析] 由sin x cos x≤1，得sin≤，
由于0≤x≤π，则≤x≤π，
由几何概型概率公式得，所求概率P==.
[答案]
5.已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC
[解析] 当点P到底面ABC的距离小于时，
VPABC
由几何概型知，所求概率为P=1-3=.
[答案]
6.已知函数f(x)=log2x，x∈，在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为________.
[解析] 由f(x0)≥0，得log2x0≥0，∴x0≥1，
因此使f(x0)≥0的区域为[1,2]，
故所求概率为P==.
[答案]
7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________.
[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.
设MABCD的高为h，
则×SABCD×h<，
又SABCD=1，∴h<，
即点M在正方体的下半部分，
∴所求概率P==.
[答案]
8.(2014·连云港清华园双语学校检测)若在区间(-1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax-by=0与圆(x-1)2 (y-2)2=1相交的概率为________.
[解析] 直线ax-by=0与圆(x-1)2 (y-2)2=1相交应满足<1，即4a>3b，在平面直角坐标系aOb中，-13b的区域为图中ODCE的内部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.
[答案]
二、解答题
9.如图1065所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.
[解] 弦长不超过1，即|OQ|≥.
因Q点在直径AB上是随机的，记事件A={弦长超过1}.
由几何概型的概率公式得P(A)==.
∴弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-.
10.在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2 y2=1内的概率.
[解] 如图所示，不等式组
表示的平面区域是△ABC的内部及其边界.
又圆x2 y2=1的圆心(0,0)到x y-=0与x-y =0的距离均为1，
∴直线x y-=0与x-y =0均与单位圆x2 y2=1相切，
记“点P落在x2 y2=1内”为事件A，
∵事件A发生时，所含区域面积S=π，且S△ABC=×2×=2，
故所求事件的概率P(A)==.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2012·辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________.
[解析] 设AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.
所以P==.
[答案]
2.(2013·盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.
[解析] 本题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，则P====1-.
[答案] 1-
二、解答题
3.已知向量a=(2,1)，b=(x，y).
(1)若x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;
(2)若x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率.
[解] (1)设“ab”为事件A，由ab, 得x=2y.
基本事件空间为Ω={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件;
其中A={(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件.
则P(A)==，即向量ab的概率为.
(2)因为x[-1,2]，y[-1,1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1=3×2=6.
设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，
可得a·b<0，即2x y<0，且x≠2y.
事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2=××2=2，
则P(B)===.
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
