【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________.
(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是 =1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则ABF2的周长为________.
[解析] (1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上;c=1.
又离心率为=，故a=2，b2=a2-c2=4-1=3，
故椭圆的方程为 =1.
(2)a>5，椭圆的焦点在x轴上，
|F1F2|=8，c=4，
a2=25 c2=41，则a=.
由椭圆定义，|AF1| |AF2|=|BF2| |BF1|=2a，
ABF2的周长为4a=4.
[答案] (1) =1 (2)4考向2 椭圆的几何性质
【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 =1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=d1，则椭圆C的离心率为________.
(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|=2|PF2|，PF1F2=30°，则椭圆的离心率为________.
[解析] (1)依题意，d2=-c=.又BF==a，所以d1=.由已知可得=·，所以c2=ab，即6c4=a2(a2-c2)，整理可得a2=3c2，所以离心率e==.
(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得
sinPF2F1=1，即PF2F1=，
设|PF2|=1，则|PF1|=2，|F2F1|=，
离心率e==.
[答案] (1) (2),【规律方法】
1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1| |PF2|=2a，得到a，c的关系.
2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
(1)求出a，c，代入公式e=;
(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷改编)设椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2=30°，则C的离心率为________.
(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60°.则椭圆离心率的范围为________.
[解析]
(1)如图，在RtPF1F2中，PF1F2=30°，|PF1|=2|PF2|，
且|PF2|=|F1F2|，
又|PF1| |PF2|=2a，|PF2|=a，于是|F1F2|=a，
因此离心率e===.
(2)法一：设椭圆方程为 =1(a>b>0)，
|PF1|=m，|PF2|=n，则m n=2a.
在PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2=m2 n2-2mncos 60°=(m n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).≥，即e≥.
又0b>0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点.
【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆 =1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若· ·=8，求k的值.
[解] (1)设F(-c,0)，由=，知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，代入椭圆方程有 =1，解得y=±，
于是=，解得b=，则b2=2
又因为a2-c2=b2，从而a2=3，c2=1，
所以所求椭圆的方程为 =1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x 1)，由方程组消去y，得(2 3k2)x2 6k2x 3k2-6=0.
根据根与系数的关系知x1 x2=-，
x1x2=.
因为A(-，0)，B(，0)，
所以· ·=(x1 ，y1)·(-x2，-y2) (x2 ，y2)·(-x1，-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1 1)(x2 1)
=6-(2 2k2)x1x2-2k2(x1 x2)-2k2
=6 .
由已知得6 =8，解得k=±.
掌握1条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系
