【变式训练2】 (1)圆O1：x2 y2-2x=0和圆O2：x2 y2-4y=0的位置关系是________.
(2)(2014·湖南高考)若圆C1：x2 y2=1与圆C2：x2 y2-6x-8y m=0外切，则m=________.
[解析] (1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1=1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2=2，故两圆的圆心距|O1O2|=，而r2-r1=1，r1 r2=3，则有r2-r1<|O1O2|0，因此圆的方程是(x-a)2 (y-a)2=a2，由圆过点(4,1)得(4-a)2 (1-a)2=a2，即a2-10a 17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|=×=8.
[答案] 8
4.(2014·宿迁模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________________________________________________________________.
[解析] 由题意，设所求的直线方程为x y m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2 2=(a-1)2，解得a=3或a=-1，又圆心在x轴的正半轴上，a=3，故圆心坐标为(3,0).圆心(3,0)在所求的直线上，3 0 m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x y-3=0.
[答案] x y-3=0
5.(2014·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为______________________.
[解析] 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a=2b>0，且a2=()2 b2，解得a=2，b=1.
所求圆的标准方程为(x-2)2 (y-1)2=4.
[答案] (x-2)2 (y-1)2=4
6.圆x2 y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是________.
[解析] 圆心Q(2,0)，点P(1，)在圆上，则过点P的切线与直线PQ垂直，kPQ==-，过点P的切线方程为y-=(x-1)即x-y 2=0.
[答案] x-y 2=0
7.(2014·南京质检)从原点向圆x2 y2-12y 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________.
[解析] 设过原点的圆的切线是y=kx，由x2 (y-6)2=9，容易求得k=±.所以两切线的夹角为.
所以两条切线间的劣弧所对的圆心角为π-=，劣弧长为l=αR=×3=2π.
[答案] 2π
8.两圆x2 y2 2ax a2-4=0和x2 y2-4by-1 4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR且ab≠0，则 的最小值为________.
[解析] 将圆的方程化为标准方程，得(x a)2 y2=4，x2 (y-2b)2=1，
两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于两半径之和.
故有a2 4b2=9，(a2 4b2)=1，
=(a2 4b2)=≥(5 2)=1
当且仅当a2=2b2时，等号成立，即 的最小值为1.
[答案] 1
二、解答题
9.(2014·盐城一中检测)已知圆C：x2 y2 x-6y m=0与直线l：x 2y-3=0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围;
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值.
[解] (1)圆的方程化为2 (y-3)2=，
故有>0，解得m<.
由消去y，
得x2 2 x-6× m=0，
整理，得5x2 10x 4m-27=0.
∵直线l与圆C没有公共点，方程无解.
故有Δ=102-4×5(4m-27)<0，解得m>8.
m的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OPOQ，得·=0，即x1x2 y1y2=0.
由及根与系数的关系，得
x1 x2=-2，x1x2=.
又P，Q在直线x 2y-3=0上，
y1y2=×=[9-3(x1 x2) x1x2].
将代入上式，得y1y2=，
将代入得x1x2 y1y2= =0，
解得m=3.
代入方程检验得Δ>0成立，m=3.
10.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M、N关于直线x 2y=0对称，且|MN|=2，求直线MN的方程.
[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离，
即r==2.
所以圆O的方程为x2 y2=4.
(2)由题意，可设直线MN的方程为2x-y m=0.
则圆心O到直线MN的距离d=.
由垂径分弦定理得： ()2=22，即m=±.
所以直线MN的方程为：2x-y =0或2x-y-=0.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·北京高考改编)已知圆C：(x-3)2 (y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P，使得APB=90°，则m的最大值为________.
[解析] 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r=1，且|AB|=2m.因为APB=90°，连接OP，易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|==5，所以|OP|max=|OC| r=6，即m的最大值为6.
[答案] 6
2.(2014·扬州质检)若O：x2 y2=5与O1：(x-m)2 y2=20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.
[解析] 由题意O1与O在A处的切线互相垂直，
则两切线分别过另一圆的圆心，
所以O1AOA.
又|OA|=，|O1A|=2，
|OO1|=5，
又A、B关于OO1对称，
所以AB为RtOAO1斜边上高的2倍，
|AB|=2×=4.
[答案] 4
二、解答题
3.已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点，A(6,2)，B(8,0)，圆C是OAB的外接圆，过点(2,6)的直线l被圆C所截得的弦长为4.
(1)求圆C的方程及直线l的方程;
(2)设圆N的方程为(x-4-7cos θ)2 (y-7sin θ)2=1(θR)，过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求·的最大值.
[解] (1)因为A(6,2)，B(8,0)，所以OAB为以OB为斜边的直角三角形，所以圆C的方程为(x-4)2 y2=16.
当直线l的斜率不存在时，l：x=2，被圆C截得的弦长为4，所以l：x=2符合题意.
当直线l的斜率存在时，设l：y-6=k(x-2)，即kx-y 6-2k=0.
因为被圆C截得弦长为4，所以圆心C到直线的距离为2.
所以=2，解得k=-，所以l：y-6=-(x-2)，即4x 3y-26=0.
综上，直线l的方程为x=2或4x 3y-26=0.
(2)因为圆心N(4 7cos θ，7sin θ)，若设N(x，y)，则所以(x-4)2 y2=49.
即圆心N在以(4,0)为圆心，7为半径的圆周上运动.
如图，设ECF=2α，则·=||·||·cos 2α=16cos 2α=32cos2α-16.
在RtPCF中，cos α==.由圆的几何性质得NC 1≥PC≥NC-1=7-1=6，所以≤cos α≤.由此可得·≤-，则·的最大值为-.
