一、选择题

1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1 x3，则有()

A.|FP1| |FP2|=|FP3|

B.|FP1|2 |FP2|2=|FP3|2

C.2|FP2|=|FP1| |FP3|

D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

答案：C　解题思路：抛物线的准线方程为x=-，由定义得|FP1|=x1 ，|FP2|=x2 ，|FP3|=x3 ，则|FP1| |FP3|=x1 x3 =x1 x3 p，2|FP2|=2x2 p，由2x2=x1 x3，得2|FP2|=|FP1| |FP3|，故选C.

2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()

A.4B.2　C.2D.

答案：C　命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等.

解题思路：设直线l的方程为y=-x b，联立直线与抛物线方程，消元得y2 8y-8b=0，因为直线与抛物线相切，故Δ=82-4×(-8b)=0，解得b=-2，故直线l的方程为x y 2=0，从而A(-2,0)，B(0，-2)，因此过A，B两点最小圆即为以AB为直径的圆，其方程为(x 1)2 (y 1)2=2，而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，此时圆心(-1，-1)到准线的距离为1，故所截弦长为2=2.

3.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为()

A.y2=9x B.y2=6x

C.y2=3x D.y2=x

答案：C　命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解，难度中等.

解题思路：如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为E，D，由抛物线定义可知|AE|=|AF|=3，|BC|=2|BF|=2|BD|，在RtBDC中，可知BCD=30°，故在RtACE中，可得|AC|=2|AE|=6，故|CF|=3，则GF即为ACE的中位线，故|GF|=p==，因此抛物线方程为y2=2px=3x.

4.焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()

A.(1,3) B.(1,3]

C.(3， ∞) D.[3， ∞)

答案：D　命题立意：本题主要考查双曲线的离心率问题，考查考生的化归与转化能力.

解题思路：设AF的中点C(xC,0)，由题意xC≤-a，即≤-a，解得e=≥3，故选D.

5.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()

A. B.- C.± D.-

答案：B　命题透析：本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想.

思路点拨：由y=，得x2 y2=1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如图所示.

故SAOB=|OA||OB|·sin AOB=sin AOB，所以当sin AOB=1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时O到直线l的距离d=|OA|sin 45°=.设此时直线l的方程为y=k(x-)，即kx-y-k=0，则有=，解得k=±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故k=-.

6.点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“正点”，那么下列结论中正确的是()

A.直线l上的所有点都是“正点”

B.直线l上仅有有限个点是“正点”

C.直线l上的所有点都不是“正点”

D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“正点”

答案：A　解题思路：本题考查直线与抛物线的定义.设A(m，n)，P(x，x-1)，则B(2m-x,2n-x 1)， A，B在y=x2上， n=m2,2n-x 1=(2m-x)2，消去n，整理得关于x的方程x2-(4m-1)x 2m2-1=0， Δ=8m2-8m 5>0恒成立， 方程恒有实数解.

二、填空题

7.设A，B为双曲线-=1(b>a>0)上两点，O为坐标原点.若OAOB，则AOB面积的最小值为________.

答案：　解题思路：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，则点A(x1，y1)满足故x=，y=，

|OA|2=x y=;

同理|OB|2=.

故|OA|2·|OB|2=·=.

=≤(当且仅当k=±1时，取等号)， |OA|2·|OB|2≥，

又b>a>0，

故SAOB=|OA|·|OB|的最小值为.

8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB=________.

答案：　解题思路：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2=，y1 y2=0，y1y2=-，

x1 x2=0，x1x2=-4×.

由kPA·kPB=·====知kPA·kPB为定值.

9.设平面区域D是由双曲线y2-=1的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x，y)D，则目标函数z=x y的最大值为______.

答案：

3　解题思路：本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划.双曲线y2-=1的两条渐近线为y=±x，抛物线y2=-8x的准线为x=2，当直线y=-x z过点A(2,1)时，zmax=3.

三、解答题

10.已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C.

(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列;

(2)设=α，=β，试问α β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.

解析：(1)证明：设直线的方程为：y=kx 2(k≠0)，

联立方程可得得

k2x2 (4k-4)x 4=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，

则x1 x2=-，x1x2=，

|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=，

而|MC|2=2=，

|MC|2=|MA|·|MB|≠0，

即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.

(2)由=α，=β，得

(x1，y1-2)=α，

(x2，y2-2)=β，

即得：α=，β=，

则α β=，

由(1)中代入得α β=-1，

故α β为定值且定值为-1.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，设点F(0，p)(p>0)，直线l：y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R，P分别作直线l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.

(1)求动点Q的轨迹C的方程;

(2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线，设切点为A，B，求证：直线AB恒过一定点;

(3)对(2)求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列.

解题思路：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可.

解析：(1)依题意知，点R是线段PF的中点，且RQ⊥FP，

RQ是线段FP的垂直平分线. |QP|=|QF|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py(p>0).

(2)设M(m，-p)，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

由x2=4py得y=x2，求导得y′=x.

两条切线方程为y-y1=x1(x-x1)，

y-y2=x2(x-x2)，

对于方程，代入点M(m，-p)得，

-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，

-p-x=x1(m-x1)，

整理得x-2mx1-4p2=0.

同理对方程有x-2mx2-4p2=0，

即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.

x1 x2=2m，x1x2=-4p2.

设直线AB的斜率为k，k===(x1 x2)，

所以直线的方程为y-=(x1 x2)(x-x1)，展开得：

y=(x1 x2)x-，

将代入得：y=x p.

直线恒过定点(0，p).

(3)证明：由(2)的结论，设M(m，-p)，A(x1，y1)，B(x2，y2)且有x1 x2=2m，x1x2=-4p2，

kMA=，kMB=.

=

= =

= =

===-.

又 ==-，

所以 =.

即直线的斜率的倒数成等差数列.

规律总结：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，近几年高考题中经常出现以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力.

12.已知点F(0,1)，直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·=·.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求 的最大值.

解题思路：本题考查轨迹的求法、向量的运算、基本不等式的运用.(1)利用直接法及数量积的坐标运算即可得到动点的轨迹方程;(2)先设出圆的方程，求出点A，B坐标，然后利用基本不等式求出所给式子的最大值.

解析：(1)设P(x，y)，则Q(x，-1)，

·=·，

(0，y 1)·(-x,2)=(x，y-1)·(x，-2).

即2(y 1)=x2-2(y-1)，即x2=4y，

所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.

(2)设圆M的圆心坐标为M(a，b)，

则a2=4b.

圆M的半径为|MD|=.

圆M的方程为(x-a)2 (y-b)2=a2 (b-2)2.

令y=0，则(x-a)2 b2=a2 (b-2)2，

整理得，x2-2ax 4b-4=0.

由，解得，x=a±2.

不妨设A(a-2,0)，B(a 2,0)，

l1=，l2=.

===2

=2，

当a≠0时，由得， =2

≤2=2.

当且仅当a=±2时，等号成立.

当a=0时，由得， =2.

故当a=±2时， 的最大值为2.

规律总结：本题立足基础概括了解析几何的大部分内容，并融入了向量的知识.通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识综合考查.解决此类问题要熟练运用解析几何的经典思维，化繁为简，逐步解决.

13.已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴(垂足为T)，与抛物线交于不同的两点P，Q，且·=-5.

(1)求点T的横坐标x0;

(2)若以F1，F2为焦点的椭圆C过点.

求椭圆C的标准方程;

过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设=λ，若λ[-2，-1]，求| |的取值范围.

解析：(1)由题意得F2(1,0)，F1(-1,0)，

设P(x0，y0)，Q(x0，-y0)，

则=(x0 1，y0)，=(x0-1，-y0).

由·=-5，得x-1-y=-5，

即x-y=-4，

又P(x0，y0)在抛物线上，则y=4x0，

联立、解得x0=2.

(2)设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，

设椭圆C的标准方程为 =1(a>b>0)，

则 =1，

a2=b2 1.

将代入，解得b2=1或b2=-(舍去)，

所以a2=b2 1=2.

故椭圆C的标准方程为 y2=1.

方法一：容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky 1，

将直线l的方程代入 y2=1中得：

(k2 2)y2 2ky-1=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠0且y2≠0，

则由根与系数的关系，可得：

y1 y2=-，

y1y2=-.

因为=λ，所以=λ，且λ