一、选择题
1.(文)曲线y=xex 2x-1在点(0，-1)处的切线方程为()
A.y=3x-1 B.y=-3x-1
C.y=3x 1 D.y=-2x-1
[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex xex 2)|x=0=3，
切线方程为y=3x-1，故选A.
(理)(2014·吉林市质检)若函数f(x)=2sinx(x[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)=2·( 1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率()
A.1B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)= ≥2，当且仅当x=1时，等号成立，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1= ，2cosx1=2且 =2，x1∈[0，π]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
[方法点拨] 1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f ′(x0).
2.求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：
求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程;
(2)已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程;
(3)已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
3.若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′ (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程.
4.(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.
2.已知f(x)为定义在(-∞， ∞)上的可导函数，且f(x)e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)
B.f(1)e2012·f(0)
C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上为增函数，
F(1)>F(0)，F(2012)>F(0)，
即>，>，
f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0).
[方法点拨] 1.函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增.如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减.
2.利用导数研究函数的单调性的步骤.
(1)找出函数f(x)的定义域;
(2)求f ′(x);
(3)在定义域内解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.
3.求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.
4.若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想.
3.(2015·新课标理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()
A.(-∞，-1)(0,1) B.(-1,0)(1， ∞)
C.(-∞，-1)(-1,0) D.(0,1)(1， ∞)
[答案] A
[解析] 考查导数的应用.
记函数g(x)=，则g′(x)=，因为当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0， ∞)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，且g(-1)=g(1)=0.当00，则f(x)>0;当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)(0,1)，故选A.
[方法点拨] 1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根据解题的需要可以构造新的函数g(x)，通过研究g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的方法.如在讨论f ′(x)的符号时，若f ′(x)的一部分为h(x)，f ′(x)的符号由h(x)所决定，则可转化为研究h(x)的极(最)值来解决，证明f(x)>g(x)时，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等.
2.应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：
(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解.
(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决.
3.有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理.
4.和函数与方程思想密切关联的知识点
函数y=f(x)，当y>0时转化为不等式f(x)>0.
数列是自变量为正整数的函数.
直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题.
立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.
5.注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别.
6.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略：
(1)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值.
(2)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值.
(3)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值.
(4)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值.
(5)x1∈[a，b]，当x2[c，d]时，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域与g(x)在[c，d]上的值域交集非空.
(6)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
(7)x2∈[c，d]，x1∈[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
4.(文)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f ′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()
[答案] B
[解析] 本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.
由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在[0,1]上则逐渐变小，故选B.
(理)(2014·石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()
[答案] D
[解析] A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大→减小→0→增大→减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.
[方法点拨] 1.由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于x轴上方的部分对应f(x)的增区间，下方部分对应f(x)的减区间，与x轴的交点对应函数可能的极值点，导函数的单调性决定函数f(x)增长的速度;
2.由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对应f′(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性.
5.已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3 bx2 cx-34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于-115，则a的值是()
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依题意得f′(x)=3ax2 2bx c≤0的解集是[-2，3]，于是有3a>0，-2 3=-，-2×3=，
b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a 9b 3c-34=-115，-a=-81，a=2，故选C.
二、解答题
二、解答题
6.(文)已知函数f(x)=x3-3x2 ax 2，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明：当k0.
当x≤0时，g′(x)=3x2-6x 1-k>0，g(x)单调递增，g(-1)=k-10时，令h(x)=x3-3x2 4，则g(x)=h(x) (1-k)x>h(x).
h′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2， ∞)上单调递增，所以
g(x)>h(x)≥h(2)=0，
所以g(x)=0在(0， ∞)上没有实根.
综上，g(x)在R上有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
(理)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明：当x>0时，x21，转化为证明x>2lnx lnk成立.构造函数h(x)=x-2lnx-lnk求解.
[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a.
又f′(0)=1-a=-1，得a=2.
所以f(x)=ex-2x，f′(x)=ex-2.
令f′(x)=0，得x=ln2.
当xln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增;
所以当x=ln2时，f(x)有极小值.
且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，
f(x)无极大值.
(2)令g(x)=ex-x2，则g′(x)=ex-2x.
由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0，即g′(x)>0.
所以g(x)在R上单调递增，又g(0)=1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时x20时，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2lnx lnk成立，
令h(x)=x-2lnx-lnk，则h′(x)=1-=，所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2， ∞)内单调递增
取x0=16k>16，所以h(x)在(x0， ∞)内单调递增
又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2) 3(k-lnk) 5k
易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.
即存在x0=，当x(x0， ∞)时，恒有x20.
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性;
(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1， ∞)内有唯一解.
[解析] 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0， ∞)，
g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)，
所以g′(x)=2-=.
当x(0,1)时，g′(x)0，g(x)单调递增.
(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，
令Φ(x)=-2xlnx x2-2x(x-1-lnx) (x-1-lnx)2=(1 lnx)2-2xlnx，
则Φ(1)=1>0，Φ(e)=2(2-e)0，
故x(0， ∞)时，f(x)≥0.
综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1， ∞)内有唯一解.
(理)(2015·江苏，19)已知函数f(x)=x3 ax2 b(a，bR).
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-∞，-3)∪，求c的值.
[解析] 考查利用导数求函数单调性、极值、函数零点.
(1)先求函数导数，通过讨论导函数零点求解;(2)通过构造函数，利用导数与函数关系求解.
(1)f′(x)=3x2 2ax，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=-.
当a=0时，因为f′(x)=3x2≥0，所以函数f(x)在(-∞， ∞)上单调递增;
当a>0时，x∪(0， ∞)时，f′(x)>0，x(-，0)时，f′(x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在x=x0两侧f ′(x)不变号，则x=x0不是f(x)的极值点.
第五步，求f(x)的最值，比较各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大值、最小的一个为最小值.
第六步，得出问题的结论.
8.济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k>0).现已知相距36km的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值.
[解析] (1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k>0.
从而点C处污染指数y= (00，即f′(x)>0，故f(x)为增函数;
当x>x2时，g(x)
