基础巩固组
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()
A.双曲线 B.双曲线左边一支
C.双曲线右边一支 D.一条射线
2.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()
A. B. C. D.(,0)
3.(2014大纲全国,文11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()
A.2 B.2 C.4 D.4
4.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F作圆x2 y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是()
A. B. C.2 D.
5.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,||||=2,则该双曲线的方程是()
A.-y2=1 B.x2-=1 C.=1 D.=1
6.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()
A. B. C. D.
7.(2014福建莆田模拟)已知双曲线=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为 .
8.A,B是双曲线C的两个顶点,直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴所在直线垂直.若=0,则双曲线C的离心率e= .
9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.
10.(2014福建厦门模拟)双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).
(1)求双曲线的方程;
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N求时,直线MN的方程.
能力提升组
11.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
12.已知点P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I为PF1F2的内心,若 λ成立,则λ的值为()
A. B. C. D.
13.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A.[3-2, ∞) B.[3 2, ∞)
C. D.
14.(2014浙江,文17)设直线x-3y m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
15.(2014湖南,文20)如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.
16.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
1.C 解析:|PM|-|PN|=3|PN|,∴点P的轨迹为双曲线的右支.
2.C 解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.
∴c2=a2 b2=.
∴c=,故右焦点坐标为.
3.C 解析:e=2,∴=2.
设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,
渐近线方程为bx-ay=0,
.
∵c2=a2 b2,∴b=.
由=2,得=2,
=4,
解得c=2.焦距2c=4,故选C.
4.A 解析:如图所示,在Rt△OPF中,OMPF,且M为PF的中点,
则△POF为等腰直角三角形.
所以△OMF也是等腰直角三角形.
所以有|OF|=|OM|,即c=a.
故e=.
5.A 解析:由=0,可知.
可设||=t1,||=t2,
则t1t2=2.
在△MF1F2中,=40,
则|t1-t2|=
==6=2a.
解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.
6.A 解析:双曲线的离心率为2,=2,
∴a∶b∶c=1∶∶2.
又
∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,
∴|F1F2|=2c=4a,
∴cos∠AF2F1
=
=,
选A.
7.2x±3y=0 解析:因为右焦点坐标是(,0),所以9 a=13,即a=4.
所以双曲线方程为=1.
所以渐近线方程为=0,
即2x±3y=0.
8. 解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),
则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m a,-n)=0,
化简得a2-m2 n2=0.
又=1可得b=a,
故双曲线的离心率为e=.
9.(1)解:因为e=,
所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.
因为双曲线过点(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为=1.
(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
则=9-12 m2=m2-3.
因为点(3,m)在双曲线上,
所以9-m2=6,即m2=3.
所以=m2-3=0.
(3)解:由(2)知△F1MF2的高h=|m|=,由△F1MF2的底边|F1F2|=4,
则=6.
10.解:(1)设直线AB:=1,
由题意,所以
所以双曲线方程为=1.
(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.
设直线MN:y=kx-3,
所以所以3x2-(kx-3)2=9.
整理得(3-k2)x2 6kx-18=0,①
所以x1 x2=,
y1 y2=k(x1 x2)-6=,
x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k·(x1 x2) 9=9.
因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3), ·=0,
所以x1x2 y1y2-3(y1 y2) 9=0,
即 9- 9=0,
解得k2=5,所以k=±,代入①有解,
所以lMN:y=±x-3.
11.C 解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0),
因为抛物线的准线为x=-4,
且|AB|=4,所以|yA|=2.
把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,
所以双曲线方程为x2-y2=4,
即=1.
所以a2=4,所以实轴长2a=4.
12.B 解析:设△PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r ×2c×r,
整理可得|PF1|=|PF2| 2λc.
由双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a,
则2λc=2a,故λ=.
13.B 解析:由a2 1=4,得a=,
则双曲线方程为-y2=1.
设点P(x0,y0),则=1,
即-1.
=x0(x0 2)
= 2x0 -1
=,
x0≥,∴当x0=时,取最小值3 2.故的取值范围是[3 2, ∞).
14. 解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.
由
解得A,
由
解得B.
设AB中点为E,
则E.
由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y m=0垂直,
而kPE=,
于是=-1.
所以a2=4b2=4(c2-a2).
所以4c2=5a2,解得e=.
15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.
因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.
由椭圆的定义知2a2
==2.
于是a2==2.
故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.
当x=时,易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此时,||≠||.
当x=-时,
同理可知,||≠||.
②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx m.
由
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当l与C1相交于A,B两点时,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实根,
从而x1 x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2 km(x1 x2) m2=.
由得(2k2 3)x2 4kmx 2m2-6=0.
因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2 3)(m2-3)=0.
化简,得2k2=m2-3,
因此=x1x2 y1y2=≠0,
于是 2-2,
即||≠||,
故||≠||.
综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.
16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,
所以=2,所以=2,
故c=a,
从而双曲线E的离心率e=.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OC|·|AB|=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx m,依题意,得k>2或k
