基础巩固组
1.(2014山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3 ax b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()
A.方程x3 ax b=0没有实根
B.方程x3 ax b=0至多有一个实根
C.方程x3 ax b=0至多有两个实根
D.方程x3 ax b=0恰好有两个实根
2.要证:a2 b2-1-a2b2≤0,只要证明()
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2 b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
3.设a,b,c均为正实数,则三个数a ,b ,c ()
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
4.(2014天津模拟)p=,q=(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为()
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1 x2>0,则f(x1) f(x2)的值()
A.恒为负值 B.恒等于零
C.恒为正值 D.无法确定正负
6.(2014福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()
A.不成立 B.成立
C.不能断定 D.与n取值有关
7.用反证法证明“如果a>b,那么”假设内容应是 .
8.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足 .
9.已知a>0,求证:≥a -2.
10.已知在数列{an}中,a1=5,且an=2an-1 2n-1(n≥2,且nN*).
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
能力提升组
11.已知m>1,a=,b=,则以下结论正确的是()
A.a>b B.aa b,那么a,b应满足的条件是 .
13.设a,b,c均为正数,且a b c=1,证明:≥1.
14.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:.
15.(2014福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0, ∞)上,f(1)=0,导函数f’(x)=,g(x)=f(x) f’(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
1.A 解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
2.D 解析:因为a2 b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.
3.D 解析:a>0,b>0,c>0,
∴≥6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
4.B 解析:q==p.
5.A 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1 x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)b2 c2 解析:由余弦定理cos A=0,所以只需要证,
即a2 4 4≥a2 2 2 2,
从而只需要证2≥
,
只需要证4≥
2,
即a2 ≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
10.(1)证明:设bn=,则b1==2.
因为bn 1-bn=[(an 1-2an) 1]
=[(2n 1-1) 1]=1,
所以数列为首项是2,公差是1的等差数列.
(2)解:由(1)知, (n-1)×1,
则an=(n 1)·2n 1.
因为Sn=(2·21 1) (3·22 1) … (n·2n-1 1) [(n 1)·2n 1],
所以Sn=2·21 3·22 … n·2n-1 (n 1)·2n n.
设Tn=2·21 3·22 … n·2n-1 (n 1)·2n,①
2Tn=2·22 3·23 … n·2n (n 1)·2n 1.②
②-①,得
Tn=-2·21-(22 23 … 2n) (n 1)·2n 1=n·2n 1,
所以Sn=n·2n 1 n=n·(2n 1 1).
11.B 解析:a=,
b=,
又,
,
即aa b⇔()2·()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.
13.证明:因为 b≥2a, c≥2b, a≥2c,
所以 (a b c)≥
2(a b c),
即≥a b c.
所以≥1.
14.证明:要证,
即证=3,也就是=1,
只需证c(b c) a(a b)=(a b)(b c),
即证c2 a2=ac b2.
又△ABC三内角A,B,C成等差数列,所以B=60°,
由余弦定理,得b2=c2 a2-2accos 60°,即b2=c2 a2-ac,
故c2 a2=ac b2成立.于是原等式成立.
15.解:(1)因为(ln x)’=,
所以f(x)=ln x,g(x)=ln x ,g’(x)=.
令g’(x)=0得x=1.
当x(0,1)时,g’(x)
