基础巩固组
1.数列1,3,5,7,…,(2n-1) ,…的前n项和Sn的值等于()
A.n2 1- B.2n2-n 1-
C.n2 1- D.n2-n 1-
2.(2014福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2 bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2 015的值为()
A. B. C. D.
3.(2014山东济南模拟)在数列{an}中,an 1 (-1)nan=2n-1,则数列{an}的前12项和等于()
A.76 B.78 C.80 D.82
4.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前n项和Sn= .
5.已知数列{an}的首项a1=3,通项an=2np nq(nN*,p,q为常数),且a1,a4,a5成等差数列.求:
(1)p,q的值;
(2)数列{an}的前n项和Sn的公式.
6.(2014广东惠州调研)已知向量p=(an,2n),向量q=(2n 1,-an 1),nN*,向量p与q垂直,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2an 1,求数列{an·bn}的前n项和Sn.
7.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足=an.
(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
8.(2014山东,文19)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,记Tn=-b1 b2-b3 b4-… (-1)nbn,求Tn.
能力提升组
9.已知等差数列{an}满足a2=0,a6 a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
10.设数列{an}满足a1=2,an 1-an=3·22n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2 kn(其中kN*),且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,并求an;
(2)求数列的前n项和Tn.
12.已知正项数列{an},{bn}满足a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数n,都有bn,,bn 1成等比数列.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设Sn= … ,试比较2Sn与2-的大小.
1.A 解析:该数列的通项公式为an=(2n-1) ,
则Sn=[1 3 5 … (2n-1)]
=n2 1-.
2.D 解析:由已知得f’(x)=2x b,f’(1)=2 b=3,解得b=1,
所以f(x)=x2 x,,
所以S2 015= … =1- … =1-.
3.B 解析:由已知an 1 (-1)nan=2n-1,得an 2 (-1)n 1an 1=2n 1,得an 2 an=(-1)n(2n-1) (2n 1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1 a2 a3 a4 … a11 a12=78.故选B.
4. 解析:设等比数列{an}的公比为q,
则=q3=27,解得q=3.
所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n,
故bn=log3an=n,
所以,
则数列的前n项和为1- … =1-.
5.解:(1)由a1=3,得2p q=3.
又因为a4=24p 4q,a5=25p 5q,且a1 a5=2a4,
得3 25p 5q=25p 8q,解得p=1,q=1.
(2)由(1)知,an=2n n,
所以Sn=(2 22 … 2n) (1 2 … n)=2n 1-2 .
6.解:(1)∵向量p与q垂直,
2n 1an-2nan 1=0,即2nan 1=2n 1an.
=2.
∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.
an=2n-1.
(2)∵bn=log2an 1=n-1 1=n,
∴an·bn=n·2n-1.
∴Sn=1 2×2 3×22 4×23 … n·2n-1.①
∴2Sn=1×2 2×22 3×23 … (n-1)·2n-1 n·2n.②
①-②得,-Sn=1 2 22 23 24 … 2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,
Sn=1 (n-1)·2n.
7.解:(1)=an,
an=Sn-Sn-1(n≥2),
∴=(Sn-Sn-1),
即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn.①
由题意得Sn-1·Sn≠0,
①式两边同除以Sn-1·Sn,
得=2,
数列是首项为=1,公差为2的等差数列.
=1 2(n-1)=2n-1,
∴Sn=.
(2)∵bn=,
∴Tn=b1 b2 … bn
= …
=.
8.解:(1)由题意知(a1 d)2=a1(a1 3d),
即(a1 2)2=a1(a1 6),
解得a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知bn==n(n 1),
所以Tn=-1×2 2×3-3×4 … (-1)nn·(n 1).
因为bn 1-bn=2(n 1),
可得当项数为偶数时,
Tn=(-b1 b2) (-b3 b4) … (-bn-1 bn)=4 8 12 … 2n=,
当项数为奇数时,Tn=Tn-1 (-bn)=-n(n 1)=-.
所以Tn=
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知条件可得
解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列的前n项和为Sn,
即Sn=a1 … ,
故S1=1, … .
所以,当n>1时,
=a1 …
=1-
=1-.
所以Sn=.
综上,数列的前n项和Sn=.
10.解:(1)由已知,当n≥1时,
an 1=[(an 1-an) (an-an-1) … (a2-a1)] a1
=3(22n-1 22n-3 … 2) 2=22(n 1)-1.
而a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.
(2)由bn=nan=n·22n-1知
Sn=1·2 2·23 3·25 … n·22n-1.①
从而22·Sn=1·23 2·25 3·27 … n·22n 1.②
①-②,得
(1-22)Sn=2 23 25 … 22n-1-n·22n 1,
即Sn=[(3n-1)22n 1 2].
11.解:(1)当n=kN*时,Sn=-n2 kn取得最大值,
即8=Sk=-k2 k2=k2,
故k2=16,即k=4.
当n=1时,a1=S1=- 4=;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n.
当n=1时,上式也成立.
综上,an=-n.
(2)因为,
所以Tn=1 … ,①
所以2Tn=2 2 … ,②
②-①得,2Tn-Tn=2 1 … =4-=4-,
故Tn=4-.
12.解:(1)对任意正整数n,都有bn,,bn 1成等比数列,且{an},{bn}都为正项数列,
an=bnbn 1(n∈N*).
∴a1=b1b2=3,a2=b2b3=6.
又{bn}是等差数列,b1 b3=2b2,
解得b1=,b2=.
bn=(n 1).
(2)由(1)可得an=bnbn 1=,
则
=2,
Sn=2
=1-.
∴2Sn=2-.
又2-=2-,
2Sn-.
∴当n=1,2时,2Sn2-.
