[A级 基础达标练]
一、填空题
1.在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=________.
[解析] 如图所示，= ，= =-，
·=( )·(-)
=2-2=||2-||2=9-25=-16.
[答案] -16
2.已知非零向量a，b满足|a|=|a b|=1，a与b的夹角为120°，则b的模为________.
[解析] 由|a b|=1得|a|2 2a·b |b|2=1.设|b|=x(x>0).由|a|=1及〈a，b〉=120°得1 2·1·x·cos 120° x2=1，解得x=1(x=0舍去)，故|b|=1.
[答案] 1
3.在RtABC中，C=，AC=3，取点D，使=2，则·=________.
[解析] 如图所示，= ，
又=2=，
= = (-)，
因此= ，
由C=，知·=0，且AC=3，
则·=·
= ·=6.
[答案] 6
4.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为________.
[解析] 向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，
设a与b的夹角为θ，则cos θ==，θ=.
[答案]
5.若向量a，b，c满足a∥b，且b·c=0，则(2a b)·c=________.
[解析] a∥b，b=λa.
又b·c=0，a·c=0，
(2a b)·c=2a·c b·c=0.
[答案] 0
6.(2014·苏州市调研)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta (1-t)b，若b·c=0，则实数t的值为________.
[解析] 由b·c=0，得ta·b (1-t)b2=0t·1·1·cos 60° (1-t)·12=0t=2.
[答案] 2
7.(2014·兴化月考)若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为，则|a b|=________.
[解析] a·b=|a||b|cos=1，|a b|2=(a b)2=a2 2a·b b2=1 2 4=7，所以|a b|=.
[答案]
8.(2014·扬州月考)已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为120°，a b c=0，则a与c的夹角为________.
[解析] 易知c=-(a b)，因此a·c=-a·(a b)=-a2-a·b，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a⊥c，夹角为90°.
[答案] 90°
二、解答题
9.(2014·启东中学期中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).
(1)若|c|=2，且c∥a，求c的坐标;
(2)若|b|=，且a 2b与2a-b垂直，求a与b的夹角.
[解] (1)设c=(x，y)，由c∥a及|c|=2得
或
所以c=(2,4)或c=(-2，-4).
(2)a 2b与2a-b垂直，(a 2b)·(2a-b)=0，
即2a2 3a·b-2b2=0，a·b=-，
cos θ==-1，θ∈[0，π]，θ=π.
10.已知|a|=4，|b|=3，(2a-2b)·(2a b)=61，
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a b|;
(3)若=a，=b，求ABC的面积.
[解] (1)(2a-3b)·(2a b)=61，
4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4，|b|=3，64-4a·b-27=61，
a·b=-6.
cos θ===-.
又0≤θ≤π，θ=.
(2)|a b|2=(a b)2=|a|2 2a·b |b|2
=42 2×(-6) 32=13，
|a b|=.
(3)与的夹角θ=，ABC=π-=.
又||=|a|=4，||=|b|=3，
S△ABC=||||sinABC=×4×3×=3.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·泰州质检)在ABC中，若AB=1，AC=，| |=||，则=________.
[解析] 由平行四边形法则，| |=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.
由||=2，ABC=60°，
==.
[答案]
2.(2013·湖南高考改编)已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.
[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.
又a·b=0，a⊥b，|a b|=.
|c-a-b|2=c2-2c·(a b) 2a·b a2 b2=1.
c2-2c·(a b) 1=0.2c·(a b)=c2 1.
c2 1=2|c||a b|cos θ(θ是c与a b的夹角).
c2 1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c| 1≤0.
-1≤|c|≤ 1.|c|的最大值为 1.
[答案] 1
二、解答题
3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1 7e2与向量e1 te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.
(2te1 7e2)·(e1 te2)=2te (2t2 7)e1·e2 7te=2t2 15t 7.
欲使夹角为钝角，需2t2 15t 7
