函数的奇偶性

题组一

函数的奇偶性的判定

1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ()

①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x) x.

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.

答案：D

2.已知二次函数f(x)=x2-ax 4，若f(x 1)是偶函数，则实数a的值为()

A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：∵f(x)=x2-ax 4，

∴f(x 1)=(x 1)2-a(x 1) 4

=x2 2x 1-ax-a 4

=x2 (2-a)x 5-a，

f(1-x)=(1-x)2-a(1-x) 4

=x2-2x 1-a ax 4

=x2 (a-2)x 5-a.

∵f(x 1)是偶函数，

∴f(x 1)=f(-x 1)，

∴a-2=2-a，即a=2.

答案：D

3.若函数f(x)=x2 (a∈R)，则下列结论正确的是 ()

A.?a∈R，f(x) 在(0， ∞)上是增函数

B.?a∈R，f(x)在(0， ∞)上是减函数

C.?a∈R，f(x)是偶函数

D.?a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a=16时，f(x)=x2 ，f′(x)=2x-，

令f′(x)>0得x>2.

∴f(x)在(2， ∞)上是增函数，故A、B错.

当a=0时，f(x)=x2是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

题组二

函数奇偶性的应用

4.已知函数f (x)=ax4 bcosx-x，且f (-3)=7，则f (3)的值为 ()

A.1 B.-7 C.4 D.-10

解析：设g(x)=ax4 bcosx，则g(x)=g(-x).由f (-3)=g(-3) 3，得g(-3)=f(-3)-3=4，所以g(3)=g(-3)=4，所以f (3)=g(3)-3=4-3=1.

答案：A

5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x 4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=()

A.-2 B.2 C.-98 D.98

解析：由f(x 4)=f(x)，得f(7)=f(3)=f(-1)，

又f(x)为奇函数，∴f(-1)=-f(1)，

f(1)=2×12=2，∴f(7)=-2.故选A.

答案：A

6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=，f(x 2)=f(x) f(2)，则f(5)= ()

A.0 B.1 C. D.5

解析：由f(1)=，

对f(x 2)=f(x) f(2)，

令x=-1，

得f(1)=f(-1) f(2).

又∵f(x) 为奇函数，∴f(-1)=-f(1).

于是f(2)=2f(1)=1;

令x=1，得f(3)=f(1) f(2)=，

于是f(5)=f(3) f(2)=.

答案：C

7.已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0， ∞)上的偶函数，在(0， ∞)上单调递减，且f()>0>f(-)，则方程f(x)=0的根的个数为 ()

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由于函数是偶函数，且在(0， ∞)上单调递减，因此在(-∞，0)上单调递增，又因为f()>0>f(-)=f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(-，-)上也有一个交点，故方程f(x)=0的根的个数为2.

答案：C

8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2008x log2008x，则方程f(x)=0的实根的个数为.

解析：当x>0时，f(x)=0即2008x=-log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2008x，f2(x)=-log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4， 则x1 x2 x3 x4=.

解析：由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x)，

故函数图象关于直线x=2对称，

又函数f(x)在上是增函数，且为奇函数，

故f(0)=0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，

根据对称性知函数f(x)在上单调递增，求实数a的取值范围.

解：(1)设x0，

所以f(-x)=-(-x)2 2(-x)=-x2-2x.

又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，

于是x