函数与方程
题组一函数零点的判定
1.若函数f(x)在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(-2,2)内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值 ()
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
解析：若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(-2)f(2)<0.若不是变号零点，则f(-2)f(2)>0.
答案：D
2.设f(x)=3x-x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ()
A. B.
C. D.
解析：∵f(-1)=3-1-(-1)2=3(1)-1=-3(2)<0，
f(0)=30-0=1>0，
∴函数f(x)=3x-x2在区间内存在零点.
答案：D
3.(2010·苏北三市联考)若方程lnx 2x-10=0的解为x0，则不小于x0的小整数是.
解析：令f(x)=lnx 2x-10，
则f(5)=ln5>0，f(4)=ln4-2<0
∴4
∴不小于x0的最小整数是5.
答案：5
题组二函数零点的求法
4.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)=4x 2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-2(1))
解析：∵4个选项中的零点是确定的.
A：x=4(1);B：x=1;C：x=0;D：x=2(3).
又∵g(0)=40 2×0-2=-1<0，
g(2(1))=
2×2(1)-2=1>0，
∴g(x)=4x 2x-2的零点介于(0，2(1))之间.从而选A.
答案：A
5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ()
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)=0，∴f(2)=f(5)=f(-2)=f(1)=f(4)=0.
答案：B
6.设函数f(x)=
则函数F(x)=f(x)-4(1)的零点是.
解析：当x≥1时，f(x)-4(1)=2x-2-4(1)=2x-4(9)=0，
∴x=8(9).
当x<1时，x2-2x-4(1)=0，
∵Δ=4 1>0，
∴x=2(4 1)=2(5)，又∵x<1，∴x=2(5).
∴函数F(x)=f(x)-4(1)有两个零点8(9)和2(5).
答案：8(9)，2(5)
题组三函数零点的应用
7.若二次函数y=ax2 bx c中a·c<0，则函数的零点个数是 ()
A.1个 B.2个 C.0个 D.不确定
解析：∵c=f(0)，∴ac=a·f(0)<0. ∴a与f(0)异号，即
∴函数必有两个零点.
答案：B
8.已知函数f(x)=x|x-4|-5，则当方程f(x)=a有三个根时，实数a的取值范围是.
A.-5-1
解析：f(x)=x|x-4|-5=
在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y=a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是-5答案：A
9.(2009·山东高考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
答案：(1， ∞)
10.已知关于x的二次函数f(x)=x2 (2t-1)x 1-2t.
(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)=1必有实数根;
(2)若2(1)
解：(1)证明：由f(1)=1知f(x)=1必有实数根.
(2)当2(1)0，
f(0)=1-2t=2(2(1)-t)<0，
f(2(1))=4(1) 2(1)(2t-1) 1-2t=4(3)-t>0，
所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0，2(1))内各有一个实数根.
11.已知a是实数，函数f(x)=2ax2 2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若a=0，则f(x)=2x-3显然在上没有零点，所以a≠0.
令Δ=4 8a(3 a)=8a2 24a 4=0，解得a=2(7).
①当a=2(7)时，y=f(x)恰有一个零点在上;而a=2(7)时，经检验不
符合要求.
②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)≤0时，得1≤a≤5，因当a=5时，方程f(x)=0在 上有两个相异实根，故1≤a<5时，y=f(x)在上恰有一个零点;
③当y=f(x)在上有两个零点时，则
解得a≥5或a<2(7).
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤2(7)}.
