1.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，
x2∈(0， ∞)，当x1f(x2)”的是________.
①f(x)=x(1) ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x 1)
解析：∵对任意的x1，x2∈(0， ∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0， ∞)上为减函数.答案：①
2.函数f(x)(x∈R )的图象如右图所示，则函数g(x)=f(logax)(0
解析：∵0
由0≤logax≤2(1)?≤x≤1.答案：[，1](或(，1))
3.函数y= 的值域是________.
解析：令x=4 sin2α，α∈[0，2(π)]，y=sinα cosα=2sin(α 3(π))，∴1≤y≤2.
答案：[1,2]
4.已知函数f(x)=|ex ex(a)|(a∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__.
解析：当a<0，且ex ex(a)≥0时，只需满足e0 e0(a)≥0即可，则-1≤a<0;当a=0时，f(x)=|ex|=ex符合题意;当a>0时，f(x)=ex ex(a)，则满足f′(x)=ex-ex(a)≥0在x∈[0,1]上恒成立.只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上-1≤a≤1.
答案：-1≤a≤1
5.(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________.
①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=ex;④f(x)=x=0()
解析：∵sinx≥-1，∴f(x)=sinx的下确界为-1，即f(x)=sinx是有下确界的函数;∵f(x)=lgx的值域为(-∞， ∞)，∴f(x)=lgx没有下确界;∴f(x)=ex的值域为(0， ∞)，∴f(x)=ex的下确界为0，即f(x)=ex是有下确界的函数;
∵f(x)=x=0()的下确界为-1.∴f(x)=x=0()是有下确界的函数.答案：①③④
6.已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R 使f(x)
(2)设F(x)=f(x)-mg(x) 1-m-m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.
解：(1)
x∈R ，f(x)R ，x2-bx b<0?Δ=(-b)2-4b>0?b<0或b>4.
(2)F(x)=x2-mx 1-m2，Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4，
①当Δ≤0即-5(5)≤m≤5(5)时，则必需
5(5)?-5(5)≤m≤0.
②当Δ>0即m<-5(5)或m>5(5)时，设方程F(x)=0的根为x1，x2(x1
=1-m2≤0(≥1)?m≥2.
若2(m)≤0，则x2≤0，
=1-m2≥0(≤0)?-1≤m<-5(5).综上所述：-1≤m≤0或m≥2.
7.下列函数中，单调增区间是(-∞，0]的是________.
①y=-x(1) ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|
解析：由函数y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞，0].答案：④
8.若函数f(x)=log2(x2-ax 3a)在区间[2， ∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
解析：令g(x)=x2-ax 3a，由题知g(x)在[2， ∞)上是增函数，且g(2)>0.
∴4-2a 3a>0，(≤2，)∴-4
9.若函数f(x)=x x(a)(a>0)在(4(3)， ∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__.
解析：∵f(x)=x x(a)(a>0)在(， ∞)上为增函数，∴≤4(3)，0
答案：(0，16(9)]
10.(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0， ∞)(x1≠x2)，有x2-x1(x1)<0，则下列结论正确的是________.
①f(3)
③f(-2)
解析：由已知x2-x1(x1)<0，得f(x)在x∈[0， ∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)=f(-2)，即f(3)
11.已知函数f(x)=x≥0(x<0，)满足对任意x1≠x2，都有x1-x2(x2)<0成立，则a的取值范围是________.
解析：由题意知，f(x)为减函数，所以×0 4a，(a-3<0，)解得0
6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)=f(x)·(x-1)，则函数g(x)的最大值为________.
解析：g(x)=，(0≤x<1，)
当0≤x<1时，最大值为0;当1≤x≤3时，
在x=2取得最大值1.答案：1
12.已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0]，则函数y=f(cos)的值域是________.
解析：∵cos∈[-1,1]，函数y=f(x)的值域为[-2,0]，∴y=f(cos)的值域为[-2,0].答案：[-2,0]
13.已知f(x)=log3x 2，x∈[1,9]，则函数y=[f(x)]2 f(x2)的最大值是________.
解析：∵函数y=[f(x)]2 f(x2)的定义域为
1≤x2≤9，(1≤x≤9，)∴x∈[1,3]，令log3x=t，t∈[0,1]，
∴y=(t 2)2 2t 2=(t 3)2-3，∴当t=1时，ymax=13.答案：13
14.若函数f(x)=loga(2x2 x)(a>0，a≠1)在区间(0，2(1))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________.
解析：令μ=2x2 x，当x∈(0，2(1))时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0
μ=2(x 4(1))2-8(1)，则减区间为(-∞，-4(1)).而必然有2x2 x>0，即x>0或x<-2(1).∴f(x)的单调递增区间为(-∞，-2(1)).答案：(-∞，-2(1))
15.试讨论函数y=2(log2(1)x)2-2log2(1)x 1的单调性.
解：易知函数的定义域为(0， ∞).如果令u=g(x)=log2(1)x，y=f(u)=2u2-2u 1，那么原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u=log2(1)x在x∈(0， ∞)内是减函数，y=2u2-2u 1=2(u-2(1))2 2(1)在u∈(-∞，2(1))上是减函数，在u∈(2(1)， ∞)上是增函数.又u≤2(1)，即log2(1)x≤2(1)，得x≥2(2);u>2(1)，得0
函数单调性
(0，2(2))(2(2)， ∞)u=log2(1)x
f(u)=2u2-2u 1
?
y=2(log2(1)x)2-2log2(1)x 
故函数y=2(log2(1)x)2-2log2(1)x 1在区间(0，2(2))上单调递减，在区间(2(2)， ∞)上单调递增.
16.已知定义在区间(0， ∞)上的函数f(x)满足f(x2(x1))=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1，解不等式f(|x|)<-2.
解：(1)令x1=x2>0，代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0，故f(1)=0.
(2)任取x1，x2∈(0， ∞)，且x1>x2，则x2(x1)>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f(x2(x1))<0，即f(x1)-f(x2)<0，因此f(x1)
所以函数f(x)在区间(0， ∞)上是单调递减函数.
(3)由f(x2(x1))=f(x1)-f(x2)得f(3(9))=f(9)-f(3)，而f(3)=-1，所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0， ∞)上是单调递减函数，
由f(|x|)9，∴x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.
17.已知：f(x)=log3x(x2 ax b)，x∈(0， ∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1， ∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b;若不存在，说明理由.
解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1， ∞)上是增函数，∴x=1时，f(x)最小，log31(1 a b)=1.即a b=2.
设0f(x2).即x1(x12 ax1 b)>x2(x22 ax2 b)恒成立.
由此得x1x2(x1x2-b)>0恒成立.
又∵x1-x2<0，x1x2>0，∴x1x2-b<0恒成立，∴b≥1.
设1≤x3
∵x3-x4<0，x3x4>0，∴x3x4>b恒成立.∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b=1，∴a=1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件.
