2017年江西高考数学第一轮基础复习（三）
1.(2009年高考天津卷)若圆x2 y2=4与圆x2 y2 2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2，则a=________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y=a(1)，
如图，由已知|AC|=，|OA|=2，有|OC|=a(1)=1，∴a=1.
答案：1
2.(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2 y2=5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
解析：依题意，过A(1,2)作圆x2 y2=5的切线方程为x 2y=5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为2(5)，切线与坐标轴围成的三角形面积S=2(1)×2(5)×5=4(25).答案：4(25)
3.(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2 y2-6x-8y 20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________.
解析：∵圆的标准方程为(x-3)2 (y-4)2=5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|=5，
∴OP==2.∴tan∠POC=OP(PC)=2(1).在Rt△POC中，OC·PM=OP·PC，∴PM=5(5)=2.∴PQ=2PM=4.答案：4
4.若直线3x 4y m=0与圆x2 y2-2x 4y 4=0没有公共点，则实数m的取值范围是________.
解析：将圆x2 y2-2x 4y 4=0化为标准方程，得(x-1)2 (y 2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.
若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即d=32 42(-2 m|)=5(|m-5|)>1，∴m<0或m>10.
答案：(-∞，0)∪(10， ∞)
5.(原创题)已知直线x-y 2m=0与圆x2 y2=n2相切，其中m，n∈N *，且n-m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个.
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m-1=n，所以
2m-1-m<5，因为m，n∈N *，所以n=1(m=1)，n=2(m=2)，n=4(m=3)，n=8(m=4)，故有序实数对(m，n)共有4个.答案：4个
6.(2010年南京调研)已知：以点C(t，t(2))(t∈R ，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.
(1)求证：△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x 4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程.
解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2=t2 t2(4).设圆C的方程是(x-t)2 (y-t(2))2=t2 t2(4)，令x=0，得y1=0，y2=t(4);令y=0，得x1=0，x2=2t.
∴S△OAB=2(1)OA·OB=2(1)×|t(4)|×|2t|=4，即△OAB的面积为定值.
(2)∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2，∴kO C=2(1)，
∴直线OC的方程是y=2(1)x.∴t(2)=2(1)t，解得：t=2或t=-2.
当t=2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC=，此时圆心C到直线y=-2x 4的距离d=5(1)<，圆C与直线y=-2x 4相交于两点.
当t=-2时，圆心C的坐标为(-2，-1)，OC=，此时圆心C到直线y=-2x 4的距离d=5(1)>，圆C与直线y=-2x 4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去.∴圆C的方程为(x-2)2 (y-1)2=5.
7.直线ax by b-a=0与圆x2 y2-x-3=0的位置关系是________.
解析：直线方程化为a(x-1) b(y 1)=0，过定点(1，-1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交.答案：相交
8.(2010年秦州质检)已知直线y=-x与圆x2 y2=2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB=____________.
解析：弦心距长为2(6)，半径为，所以弦AB所对的圆心角为3(π)，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB=6(π).答案：6(π)
9.已知向量a =(cosα，sinα)，b =(cosβ，sinβ)，a 与b 的夹角为60°，直线xcosα ysinα=0与圆(x cosβ)2 (y sinβ)2=2(1)的位置关系是________.
解析：cos60°=cosα·cosβ sinα·sinβ=cos(α-β)，
d=cos2α sin2α(|cosα·cosβ sinα·sinβ|)=|cos(α-β)|=2(3)>2(2)=r.答案：相离
10.过点A(11,2)作圆x2 y2 2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有__条.
解析：方程化为(x 1)2 (y-2)2=132，圆心为(-1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2 2×(25-10)=32(条).答案：32
11.若集合A={(x，y)|y=1 }，B={(x，y)|y=k(x-2) 4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.
解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x2 (y-1)2=4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(-2,1)，kPA=4(3)，过P与半圆相切时，k=12(5)，∴12(5)
答案：12(5)
12.已知AC、BD为圆O：x2 y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________.
解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12 d22=OM2=3.
四边形ABCD的面积S=2(1)|AB|·|CD|=2≤8-(d12 d22)=5.
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