1.已知sinα=5(5)，sin(α-β)=-10(10)，α、β均为锐角，则β等于________.
解析：∵α、β均为锐角，∴-2(π)<α-β<2(π)，∴cos(α-β)==10(10).
∵sinα=5(5)，∴cosα= 2(5)=5(5).
∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=2(2).
∵0<β<2(π)，∴β=4(π).答案：4(π)
2.已知0<α<2(π)<β<π，cosα=5(3)，sin(α β)=-5(3)，则cosβ的值为________.
解析：∵0<α<2(π)，2(π)<β<π，∴2(π)<α β<2(3)π.∴sinα=5(4)，cos(α β)=-5(4)，
∴cosβ=cos[(α β)-α]=cos(α β)cosα sin(α β)sinα=(-5(4))×5(3) (-5(3))×5(4)=-25(24).答案：-25(24)
3.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则α-β(α β)=________.
解析：tanα tanβ=3，tanαtanβ=-3，则α-β(α β)=cosαcosβ sinαsinβ(sinαcosβ cosαsinβ)
=1 tanαtanβ(tanα tanβ)=1-3(3)=-2(3).答案：-2(3)
4.已知cos(α-6(π)) sinα=5(4)，则sin(α 6(7π))的值是___.
解析：由已知得2(3)cosα 2(1)sinα sinα=5(4)，即2(1)cosα 2(3)sinα=5(4)，
得sin(α 6(π))=5(4)，sin(α 6(7)π)=-sin(α 6(π))=-5(4).答案：-5(4)
5.(原创题)定义运算a?b=a2-ab-b2，则sin12(π)?cos12(π)=________.
解析：sin12(π)?cos12(π)=sin212(π)-sin12(π)cos12(π)-cos212(π)=-(cos212(π)-sin212(π))-2(1)×2sin12(π)cos12(π)=-cos6(π)-2(1)sin6(π)=-4(3).答案：-4(3)
6.已知α∈(2(π)，π)，且sin2(α) cos2(α)=2(6).
(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-5(3)，β∈(2(π)，π)，求cosβ的值.
解：(1)因为sin2(α) cos2(α)=2(6)，两边同时平方得sinα=2(1).
又2(π)<α<π.所以cosα=-2(3).
(2)因为2(π)<α<π，2(π)<β<π，所以-π<-β<-2(π)，故-2(π)<α-β<2(π).
又sin(α-β)=-5(3)，得cos(α-β)=5(4).
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β) sinαsin(α-β)
=-2(3)×5(4) 2(1)×(-5(3))=-10(3 3).
7.1 sin2α(cos2α)·1-tanα(1 tanα)的值为________.
解析：1 sin2α(cos2α)·1-tanα(1 tanα)=2(cos2α-sin2α)·1-tanα(1 tanα)
=sinα cosα(cosα-sinα)·1-tanα(1 tanα)=1 tanα(1-tanα)·1-tanα(1 tanα)=1.
8.已知cos(4(π) x)=5(3)，则1-tanx(sin2x-2sin2x)的值为________.
解析：∵cos(4(π) x)=5(3)，∴cosx-sinx=5(3)，
∴1-sin2x=25(18)，sin2x=25(7)，∴1-tanx(sin2x-2sin2x)=cosx(cosx-sinx)=sin2x=25(7).
9.已知cos(α 3(π))=sin(α-3(π))，则tanα=________.
解析：cos(α 3(π))=cosαcos3(π)-sinαsin3(π)=2(1)cosα-2(3)sinα，sin(α-3(π))
=sinαcos3(π)-cosαsin3(π)=2(1)sinα-2(3)cosα，
由已知得：(2(1) 2(3))sinα=(2(1) 2(3))cosα，tanα=1.
10设α∈(4(π)，4(3π))，β∈(0，4(π))，cos(α-4(π))=5(3)，sin(4(3π) β)=13(5)，则sin(α β)=________.
解析：α∈(4(π)，4(3π))，α-4(π)∈(0，2(π))，又cos(α-4(π))=5(3)，∴sin(α-4(π))=5(4).
∵β∈(0，4(π))，∴4(3π) β∈(4(3π)，π).∵sin(4(3π) β)=13(5)，∴cos(4(3π) β)=-13(12)，
∴sin(α β)=-cos[(α-4(π)) (4(3π) β)]
=-cos(α-4(π))·cos(4(3π) β) sin(α-4(π))·sin(4(3π) β)=-5(3)×(-13(12)) 5(4)×13(5)=65(56)，
即sin(α β)=65(56).
本文导航第1页综合试题练习第2页综合试题练习第3页全国各地高考数学试题第4页全国各地高考数学真题11已知cosα=3(1)，cos(α β)=-3(1)，且α，β∈(0，2(π))，则cos(α-β)的值等于________.
解析：∵α∈(0，2(π))，∴2α∈(0，π).∵cosα=3(1)，∴cos2α=2cos2α-1=-9(7)，∴sin2α==9(2)，而α，β∈(0，2(π))，∴α β∈(0，π)，∴sin(α β)==3(2)，∴cos(α-β)=cos[2α-(α β)]=cos2αcos(α β) sin2αsin(α β)=(-9(7))×(-3(1)) 9(2)×3(2)=27(23).
12已知角α在第一象限，且cosα=5(3)，则2(π)=________.
解析：∵α在第一象限，且cosα=5(3)，∴sinα=5(4)，则2(π)=cosα(2sin2α)=cosα(2cos2α 2sinαcosα)=2(sinα cosα)=2(5(4) 5(3))=5(14).
13已知a =(cos2α，sinα)，b =(1,2sinα-1)，α∈(2(π)，π)，若a ·b =5(2)，则tan(α 4(π))的值为________.
解析：a ·b =cos2α 2sin2α-sinα=1-2sin2α 2sin2α-sinα=1-sinα=5(2)，∴sinα=5(3)，又α∈(2(π)，π)，∴cosα=-5(4)，tanα=-4(3)，∴tan(α 4(π))=1-tanα(tanα 1)=7(1).
14tan70°-tan10° tan120°(tan10°tan70°)的值为______.
解析：由tan(70°-10°)=1 tan70°·tan10°(tan70°-tan10°)=，
故tan70°-tan10°=(1 tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan120°(tan70°tan10°)=3(tan70°tan10°)=tan70°tan10°(tan70°tan10°)=3(3).
15已知角α的终边经过点A(-1，)，则4()的值等于________.
解析：∵sinα cosα≠0，cosα=-4(1)，∴4()=4cosα(2)=-.
16.求值：sin20°(cos20°)·cos10° sin10°tan70°-2cos40°.
解：原式=sin20°(cos20°cos10°) cos70°(3sin10°sin70°)-2cos40°
=sin20°(3sin10°cos20°)-2cos40°
=sin20°(3sin10°)-2cos40°
=sin20°(cos10°sin30° sin10°cos30°)-2cos40°
=sin20°(2cos20°sin40°-2sin20°cos40°)=2.
17.已知向量m =(2cos2(x)，1)，n =(sin2(x)，1)(x∈R )，设函数f(x)=m ·n -1.
(1)求函数f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=13(5)，f(B)=5(3)，求f(C)的值.
解：(1)f(x)=m ·n -1=(2cos2(x)，1)·(sin2(x)，1)-1=2cos2(x)sin2(x) 1-1=sinx.
∵x∈R ，∴函数f(x)的值域为[-1,1].
(2)∵f(A)=13(5)，f(B)=5(3)，∴sinA=13(5)，sinB=5(3).
∵A，B都为锐角，∴cosA==13(12)，cosB==5(4).
∴f(C)=sinC=sin[π-(A B)]=sin(A B)=sinAcosB cosAsinB
=13(5)×5(4) 13(12)×5(3)=65(56).∴f(C)的值为65(56).
18.(2010年南京调研)已知：0<α<2(π)<β<π，cos(β-4(π))=3(1)，sin(α β)=5(4).
(1)求sin2β的值;(2)求cos(α 4(π))的值.
解：(1)法一：∵cos(β-4(π))=cos4(π)cosβ sin4(π)sinβ=2(2)cosβ 2(2)sinβ=3(1)，
∴cosβ sinβ=3(2)，∴1 sin2β=9(2)，∴sin2β=-9(7).
法二：sin2β=cos(2(π)-2β)=2cos2(β-4(π))-1=-9(7).
(2)∵0<α<2(π)<β<π，∴4(π)<β-4(π)<4(3π)，2(π)<α β<2(3π)，∴sin(β-4(π))>0，cos(α β)<0.
∵cos(β-4(π))=3(1)，sin(α β)=5(4)，∴sin(β-4(π))=3(2)，cos(α β)=-5(3).
∴cos(α 4(π))=cos[(α β)-(β-4(π))]=cos(α β)cos(β-4(π)) sin(α β)sin(β-4(π))
=-5(3)×3(1) 5(4)×3(2)=15(2-3).
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