1.若a>1且01的解集为________.

解析：∵a>1,01⇔logb(x-3)>0⇔logb(x-3)>logb1⇔0 2.(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y=x的是________.

解析：y=x=x2(3)是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，=x>1，∴x>x，∴排除①.答案：④

3.若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________.

①2x>x>lgx　②2x>lgx>x

③x>2x>lgx ④lgx>x>2x 解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,0<1，lgx<0.答案：①

 

 

 

 

4.函数f(x)=|4x-x2|-a恰有三个零点，则a=__________.

解析：先画出f(x)=4x-x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y=a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：4

5.(原创题)方程x2(1)=logsin1x的实根个数是__________.

解析：在同一坐标系中分别作出函数y1=x和y2=logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点.答案：1

6.设a为实数，函数f(x)=2x2 (x-a)·|x-a|.

(1)若f(0)≥1，求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;

(3)设函数h(x)=f(x)，x∈(a， ∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.

解：(1)因为f(0)=-a|-a|≥1，所以-a>0，即a<0.由a2≥1知a≤-1.因此，a的取值范围为(-∞，-1].

(2)记f(x)的最小值为g(a).则有f(x)=2x2 (x-a)|x-a|=2-2a2，x≤a，②(，x>a，　①)

(ⅰ)当a≥0时，f(-a)=-2a2，由①②知f(x)≥-2a2，此时g(a)=-2a2.

(ⅱ)当a<0时，f(3(a))=3(2)a2.若x>a，则由①知f(x)≥3(2)a2;

若x≤a，则x a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>3(2)a2.此时g(a)=3(2)a2.

综上，得g(a)=，　a<0.(2a2)

(3)(ⅰ)当a∈(-∞，-2(6)]∪[2(2)， ∞)时，解集为(a， ∞);

(ⅱ)当a∈[-2(2)，2(2))时，解集为[3(3-2a2)， ∞);

(ⅲ)当a∈(-2(6)，-2(2))时，解集为(a，3(3-2a2)]∪[3(3-2a2)， ∞).

7.(2010年江苏无锡模拟)幂函数y=f(x)的图象经过点(-2，-8(1))，则满足f(x)=27的x的值是__________.

解析：设幂函数为y=xα，图象经过点(-2，-8(1))，则-8(1)=(-2)α，∴α=-3，∵x-3=27，∴x=3(1).答案：3(1)

8.(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表：

x12(1)

f(x)12(2)

则不等式f(|x|)≤2的解集是__________.

解析：由表知2(2)=(2(1))α，∴α=2(1)，∴f(x)=x2(1).∴(|x|)2(1)≤2，即|x|≤4，故-4≤x≤4.

答案：{x|-4≤x≤4}

9.设k∈R ，函数f(x)=，(，)F(x)=f(x) kx，x∈R .当k=1时，F(x)的值域为__________.

解析：当x>0时，F(x)=x(1) x≥2;当x≤0时，F(x)=ex x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)=1，所以k=1时，F(x)的值域为(-∞，1]∪[2， ∞).答案：(-∞，1]∪[2， ∞)

10.设函数f(x)=，(x>0，)若f(-4)=f(0)，f(-2)=0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________.

解析：由f(-4)=f(0)，得b=4.又f(-2)=0，可得c=4，∴x2 4x 4≤1(x≤0，)或-2≤1，(x>0，)可得-3≤x≤-1或x>0.答案：{x|-3≤x≤-1或x>0}

11.已知函数f(x)=4x-x2，　x<0.(x2 4x，　x≥0，)若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是__________.

解析：函数f(x)=4x-x2，x<0，(x2 4x，x≥0，)的图象如图.

知f(x)在R 上为增函数.

∵f(2-a2)>f(a)，即2-a2>a.

解得-2

答案：-2

12.设函数f(x)=(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))

(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________.

解析：由题意定义域D为不等式ax2 bx c≥0的解集.∵ax2 bx c=a(x 2a(b))2 4a(4ac-b2)，∵a<0，∴0≤y≤ 4a(4ac-b2)，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形区域，意味着方程ax2 bx c=0的两根x1，x2应满足|x1-x2|= 4a(4ac-b2)，由根与系数的关系知4a(4ac-b2)=a2(b2)-a(4c)=a2(b2-4ac)，∴4a=-a2.∵a<0，∴a=-4.答案：-4

13.已知函数f(x)=-x2 bx c，x≤0.(-2 x，x>0，)若f(0)=-2f(-1)=1，则函数g(x)=f(x) x的零点的个数为__________.

解析：∵f(0)=1，∴c=1.又f(-1)=-2(1)，∴-1-b 1=-2(1)，∴b=2(1).当x>0时，g(x)=-2 2x=0，∴x=1;当x≤0时，g(x)=-x2 2(1)x 1 x=0，∴x2-2(3)x-1=0，∴x=2(舍)或x=-2(1)，所以有两个零点.答案：2

14.设函数f(x)=x|x| bx c，给出下列四个命题：①c=0时，f(x)是奇函数;②b=0，c>0时，方程f(x)=0只有一个实根;③f(x)的图象关于(0，c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是__________.

解析：c=0时，f(-x)=-x|-x| b(-x)=-x|x|-bx=-f(x)，故f(x)是奇函数;b=0，c>0时，f(x)=x|x| c=0，∴x≥0时，x2 c=0无解，x<0时，f(x)=-x2 c=0，∴x=-，有一个实数根.答案：①②③

15.对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)-g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间.若m(x)=x2-3x 4与n(x)=2x-3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________.

①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]

解析：|m(x)-n(x)|≤1⇒|x2-5x 7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)-n(x)|≤1在[2,3]上恒成立.

答案：③

16.设函数f(x)=x2 2bx c(c

(1)证明：-3

(2)若m是方程f(x) 1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.

解：(1)证明：f(1)=0⇒1 2b c=0⇒b=-2(c 1).又c

(2) f(x)=x2 2bx c=x2-(c 1)x c=(x-c)(x-1)，f(m)=-1<0，

∴c0，

∴f(m-4)的符号为正.

17.设函数f(x)=ax2 bx c，且f(1)=-2(a)，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且-3

证明：(1)∵f(1)=a b c=-2(a)，∴3a 2b 2c=0.

又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c=-3a-2b，由3a>2c>2b，

∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0，∴-3

(2)∵f(0)=c，f(2)=4a 2b c=a-c，

①当c>0时，∵a>0，∴f(0)=c>0且f(1)=-2(a)<0，

∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.

②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)=-2(a)<0且f(2)=a-c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点.

(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2 bx c=0的两个根，∴x1 x2=-a(b)，x1x2=a(c)=-2(3)-a(b)，∴|x1-x2|== a(b)= 2 2(b).∵-3

18.已知函数f(x)=ax2 4x b(a<0，a、b∈R )，设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1、x2，方程f(x)=x的两实根为α、β.(1)若|α-β|=1，求a、b的关系式;(2)若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f(x)的解析式;(3)若α<1<β<2，求证：(x1 1)(x2 1)<7.

解：(1)由f(x)=x得ax2 3x b=0(a<0，a、b∈R )有两个不等实根为α、β，

∴Δ=9-4ab>0，α β=-a(3)，α·β=a(b).由|α-β|=1得(α-β)2=1，

即(α β)2-4αβ=a2(9)-a(4b)=1，∴9-4ab=a2，即a2 4ab=9(a<0，a、b∈R ).

(2)由(1)得a(a 4b)=9，∵a、b均为负整数，

∴a 4b=-9(a=-1)或a 4b=-1(a=-9)或a 4b=-3，(a=-3，)显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有a 4b=-9，(a=-1，)∴b=-2.(a=-1，)

故所求函数解析式为f(x)=-x2 4x-2.

(3)证明：由已知得x1 x2=-a(4)，x1·x2=a(b)，又由α<1<β<2得α β=-a(3)<3，α·β=a(b)<2，∴-a(1)<1，∴(x1 1)(x2 1)=x1·x2 (x1 x2) 1=a(b)-a(4) 1<2 4 1=7，

即(x1 1)(x2 1)<7.